一元函数积分学_分部积分法

思考一个问题 

分析： 可以利用两个函数乘积的求导法则， 

设函数u(x) 和v(x)具有连续的导数，  (uv)' = u'v  +  uv' 

将上式变形 为：uv' = (uv)' - u'v.

两边都取积分，得： 

∫ uv' dx = uv —  ∫ u'vdx 。   这个等式就是分部积分公式。

一.  分部积分公式的定义

现在，我们可以得出， 要计算一个积分， 可以表达为求uv 减去另一个积分。

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注意： v'dx = dv,   u'dx = du.    就是说d之后是跟着原函数，原来有v',  就转化为dv, 

原来有u', 就转化为du.

所以分部积分公式 又可写成：

∫ udv = uv - ∫ vdu

现在对比看下:

二.  有了分部积分公式，  现在需要考虑哪个函数作为u,    哪个函数作为v？

先看一个例子

从上述两种方法，可以看出， 设定u, v的要求

（1） v要易求出

（2）∫vdu  要比 ∫udv易求。 

三. 现在回到本文开头提到的题目

用分部积分法求解

解：令u=x,   v' = eˣ， 

  ∫xeˣdx = xeˣ -  ∫eˣdx = xeˣ - eˣ + C

四.  有幂函数的积分的结论

1. 如果是幂函数乘以三角函数， 选u为幂函数， v'为三角函数 

2. 如果是幂函数乘以指数函数， 选u为幂函数， v'为指数函数 

这样设定，是为了降幂一次。

五. 三角函数与指数函数的积分

  遇到三角函数乘以指数函数的积分，  设u为其中任意一种函数都可以。

六. 反三角函数的积分

对于反三角，有这样口诀： 易积分的设为v ,  易求导的设为u.

解答此题，   要能记得 (arctanx)'= 1/ (1+x²) 

结论：  在反三角函数的积分中，  选定 u为反三角函数，因为反三角的原函数很难求出。

七.  对数函数的积分

结论：  当被积函数里有对数函数时，  选u为对数函数。

例： 求积分 ∫x³ lnxdx.

解： 如果将v' 设为lnx,  能否解出原函数v 呢？ 比较难！

    所以我们将 u 设为lnx,   v' = x³

   原式

八.   总结以上各种函数的积分，

选 u 的优先顺序为：反对幂指三  或者  反对幂三指