【动态规划百题强化计划】11~20（持续更新中）

暑期强化DP学习的一个计划，每天刷点cf，每日赛过活神仙（bushi）

题目都是cf里面的带有dp标签的，也有部分是贪心等简单题

11.CF_1677A（1600）

点击此处直达
tag -> brute force , dp , math

标签：暴力优化，预处理，前缀与后缀

题目大意：

现在给出一个长度为n的排列p，分别为p1,p2,p3…并且pi≠pj（i≠j）问能有多少个组合[a,b,c,d]满足（a<b<c<d）并且（$p_a<p_c$ and $p_b>p_d$）

思路：

按照常规思路，最暴力的解法就是时间复杂度为O(n⁴)的枚举，现在我们思考如何优化。

可以处理前缀和后缀，固定b和c，然后对于每一组（b，c）答案累计b左面小于a[c]的个数和c右面小于a[b]的个数的乘积即可

预处理代码如下：

for(int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
        int s=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
    
            f1[i][j]=s;
            s+=v[j];
        }
        v[a[i]]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
    
        int s=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
    
            f2[i][j]=s;
            s+=v[j];
        }
        v[a[i]]=1;
    }

最后进行累加求结果即可，注意开long long

12.CF_1661B（1300）

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tag -> mitmasks , brute force , dp , dfs and similar ,greedy

标签：贪心，位运算

题目大意：

现在给出一个数v，在一次操作中可以执行：

1.使 $ v=(v+1) mod 32768$

2.使 $v=(2\ast v)mod32768$

现在你有n个数字，问对于每一个数字最少需要操作多少次可以使其变为0？

思路：

32768，一个很敏感的数字，32768就恰好为2^15，也就是说，无论是什么数字，都可以在15次操作2之后使其变为0，因此最小的操作数不可能大于15。

由于操作2每一次都是乘2，我们可以从二进制角度来看，乘以2就是在后面添一个0，而2¹⁵就是1000000000000000（15个0），然后对于操作1，只可以使其二进制数中末尾+1，但是操作1对于连续的1来说，贡献度比操作2大，比如100111111想要变成128的倍数，只需要+1变成1010000000，而如果利用操作2，则需要后面加7个0，进行七次操作2。

因此我们的贪心策略很明显：分别对加操作和乘操作进行枚举，取得到目标结果的最小值即可

核心代码：

int get_cal(int x)
{
    
    int pos=15;
    for(int i=0;i<=15;i++)
    {
    
        if(x&(1<<i))//判断x的后i位是不是1
        {
    
            pos=i;
            break;
        }
    }
    return 15-pos;
}
int solve(int n)
{
    
    int ans=1e7;
    for(int j=0;j<=15;j++)
    {
    
        ans=min(ans,j+get_cal((n+j)%MOD));
    }
    return ans;
}

在与2的倍数有关的题目中，要保持一个敏感的心，就是考虑是否位运算bitmasks更方便求解