信号与系统：希尔伯特变换

$令f(t)=A_m\cos \left({\omega }_{m}t\right),那么y(t)=h(t)\ast f(t)=H[f(t)]$

$所以y(t)=A_m\sin \left({\omega }_{m}t\right)$

对于一个实信号x(t)，其希尔伯特变换为：

$$\tilde{x}(t)=x(t)\ast \frac{1}{\pi t}$$

性质：

相移$-\frac{\pi }{2}rad$,幅度不变。即理想$-\frac{\pi }{2}rad$全通相移器的频率响应特性定义为

$\frac{1}{\pi t}$傅里叶变换

这里需要修改 一下，因为引用的文章好像有点点问题：

考虑符号函数的傅里叶变换：
$$\mathrm{sign}(t)\iff \frac{2}{j\omega }$$
利用傅里叶变换的性质得：
$$\frac{2}{jt}\iff 2\pi \cdot \mathrm{sign}(-\omega )$$
运用线性性质，于是有：
$$\frac{1}{\pi t}\iff -j\cdot \mathrm{sign}(\omega )$$

希尔伯特变换性质

$\hat{x}(t)=x(t)\ast \frac{1}{\pi t}$

正变换

$$\hat{x}(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x(\tau )}{t-\tau }d\tau$$

反变换

$$x(t)={\mathrm{H}}^{-1}[\hat{x}(t)]=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\hat{x}(\tau )}{t-\tau }d\tau$$

$$\begin{gathered} H[H[x(t)]]=-x(t) \\ {H}^{-1}[x(t)]=-H[x(t)] \\ H[cos({\omega }_{0}t)]=sin({\omega }_{0}t) \\ H[sin({\omega }_{0}t)]=-cos({\omega }_{0}t) \\ H[x(t)\ast cos({\omega }_{0}t)]=x(t)\ast sin({\omega }_{0}t) \\ H[x(t)\ast sin({\omega }_{0}t)]=-x(t)\ast cos({\omega }_{0}t) \\ H[奇函数]=偶函数 \\ H[偶函数]=奇函数 \\ -j\cdot \mathrm{sign}(\omega )\cdot -j\cdot \mathrm{sign}(\omega )=-1 \end{gathered}$$

常用希尔伯特变换对：

$$\begin{array}{ll}\mathbf{f}(\mathbf{t})& \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{t})\\ \cos {\omega }_{0}t& \sin {\omega }_{0}t\\ \sin {\omega }_{0}t& -\cos {\omega }_{0}t\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{0}t}& -\mathrm{j}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{0}t}\\ m(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{0}t}& -\mathrm{j}m(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{0}t}\end{array}$$

参考：

[1] https://blog.csdn.net/qq_37083038/article/details/108308162
[2] https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6498913.html
[3] https://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6904215.html