动态规划——474. 一和零

1 题目描述

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes

2 题目示例

示例 1：

输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。

3 题目提示

1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成
1 <= m, n <= 100

4 思路

这道题和经典的背包问题非常相似，但是和经典的背包问题只有一种容量不同，这道题有两种容量，即选取的字符串子集中的 00 和 11 的数量上限。

经典的背包问题可以使用二维动态规划求解，两个维度分别是物品和容量。这道题有两种容量，因此需要使用三维动态规划求解，三个维度分别是字符串、00 的容量和 11 的容量。

开始动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
   dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
   此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
   对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
   这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。
3. dp数组如何初始化
   因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
4. 确定遍历顺序
   物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
5. 举例推导dp数组

5 我的答案

class Solution {
    
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
    
        //dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int oneNum, zeroNum;
        for (String str : strs) {
    
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for (char ch : str.toCharArray()) {
    
                if (ch == '0') {
    
                    zeroNum++;
                } else {
    
                    oneNum++;
                }
            }
            //倒序遍历
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
    
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
    
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}