机器学习之线性回归详解

机器学习之线性回归详解

线性回归的算法：

重点介绍梯度下降算法。
评估模型好坏的方法：损失函数(lost function)
最简单常见的损失函数：最小均方差（mse）
公式如下：

预测房价数据，假如模型y=1，最终的值60132无实际意义，但是在对比之下，值越小越好。最好的最小均方差是尽量接近0的，但是根据数据样本不同，不可能等于0

假如预测房价，特征值是面积，目标值是房价，需要拟合出一条线，计算出权重m和b

步骤一：假设m=0，即y=b，则b为唯一的可调参数，利用最小均方差公式，计算出最小的最小均方差，在此过程中拟合出一个最优的参数b


从上得知，“最优”的b值应该是mse=612对应的241附近，这样的话较为符合房价的价格。（这个过程需要一个一个地找最小mse对应的b，比较麻烦，并且图中给的b是从1开始找的，因为不确定b的值，一旦b的值为负值就麻烦了）
为了能尽快并且准确地找到最合适的b，需要引入一个新概念：学习速率（learning rate）
先看一组图：

需要找到最小的mse对应的b点

不管b从何值开始取，都需要让计算机根据线的趋势动态地找到最小mse值，即求导数，


根据上图，求出的导最小值是-8，对应着最小均方差，此时b=241
尽管如此，此时的b仍是我们用肉眼观察到的最小值，并且b的变化和取值是我们人工加上去的f，计算机可理解不了，我们需要根据一些信号量来调整b的变化。
假如曲线很陡峭的话，例如图b，斜率的值会负的很离谱，那接下来的预测点就是在曲线的右边而不是左边；如果是图a情况，斜率会很大，应该让b往左边偏移 ，也就是说如果斜率为负值，那么接下来的猜测点应该往右移，如果为正值，应该往左移，直到曲线趋于平缓，导数接近于0.

上面我们提到了学习速率（learning rate），它可以根据mse对b的导数，最快地找到最合适的b，如果导数负的越大，那么它就应该变化的越多，如果导数越小，越接近于0，那么它应该变化的越小。
学习速率是一个值，例如0.0001，学习速率是这样用的：本次的b=上一个b - 上一个导数 * 学习速率，如此循环迭代下去，可以很快的找到最接近0的导数对应的b 。

如果学习速率越小的话，例如0.000001，那么b的值变化的越慢，如果学习速率越大的话，例如0.1、0.8，b值变化的越快。变化的越慢就代表要进行大量的迭代，计算量大，不过最终求出的b值会越精确；变化的越快计算量也相应少了很多，但是b值可能不是最好的那个。

如下图：当学习速率为0.00001、0.001，0.01、0.1时：

当learning rate 为0.2时，b慢慢的趋近于245，导数慢慢的趋近于0

learning rate的值不能太大，否则b只会离正确的点越来越远

为了简化模型，以上便是y=mx+b,（m=0）情况下，求可调参数也就是权重b的值。（这是一种极端情况，正常情况下m≠0）

所以一般情况下我们要对m和b分别求导：

同理，得出：