Hilbert 变换与瞬时频率

        Hilbert 变换仅可估计单分量信号的瞬时频率。单分量信号在时频平面中用单一“脊”来描述。单分量信号包括单一正弦波信号和 chirp 等信号。

        生成以 1 kHz 采样的时长为两秒的 chirp 信号。指定 chirp 信号的最初频率为 100 Hz，一秒后增加到 200 Hz。

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
y = chirp(t,100,1,200);

        使用通过 pspectrum 函数实现的短时傅里叶变换来估计 chirp 信号的频谱图。下图中每个时间点有一个峰值频率，很好地描述了这一信号。

pspectrum(y,fs,'spectrogram')

如图所示：

        计算解析信号并对相位进行微分以得到瞬时频率。对导数进行缩放以得到有意义的估计。

z = hilbert(y);
instfrq = fs/(2*pi)*diff(unwrap(angle(z)));

clf
plot(t(2:end),instfrq)
ylim([0 fs/2])

        如图所示：

        instfreq 函数只需一步即可计算并显示瞬时频率。

instfreq(y,fs,'Method','hilbert')

        如图所示：

        当信号不是单分量时，该方法会失败。生成频率为 60 Hz 和 90 Hz 的两个正弦波的总和，以 1023 Hz 采样两秒。计算并绘制频谱图。在每个时间点都显示存在两个分量。

fs = 1023;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = sin(2*pi*60*t)+sin(2*pi*90*t);

pspectrum(x,fs,'spectrogram')
yticks([60 90])

        如图所示：

        计算分析信号并对其相位求微分。放大包含正弦波频率的区域。分析信号预测瞬时频率，即正弦波频率的平均值。

z = hilbert(x);
instfrq = fs/(2*pi)*diff(unwrap(angle(z)));

plot(t(2:end),instfrq)
ylim([60 90])
xlabel('Time (s)')
ylabel('Frequency (Hz)')

         如图所示：

        instfreq 函数也估算平均值。

instfreq(x,fs,'Method','hilbert')

        如图所示：

        要采用时间的函数来估算这两个频率，请使用 spectrogram 求功率频谱密度，使用 tfridge 跟踪两个脊。在 tfridge 中，将更改频率的罚分指定为 0.1。 

[s,f,tt] = pspectrum(x,fs,'spectrogram');

numcomp = 2;
[fridge,~,lr] = tfridge(s,f,0.1,'NumRidges',numcomp);

pspectrum(x,fs,'spectrogram')
hold on
plot3(tt,fridge,abs(s(lr)),'LineWidth',4)
hold off
yticks([60 90])

        如图所示：