【7.16】代码源 -【数组划分】【拆拆】【选数2】【最大公约数】

#665. 数组划分

题意：给定 $n(n\le 100)$ 个整数，将其划分为恰好 $k(k\le 100)$ 个子数组，求对每个子数组求和后按与运算的最大值。

题解：(动态规划) 代码源每日一题 Div1 数组划分

思路：刚开始我定义的是 $dp(i,j)$ 为前 $i$ 个元素分为 $j$ 块的最大值，转移方程是 $dp(i,j)=\max (dp(k,j-1)\&(sum(k+1,i)))$ ，但是这样是不行的。详细讲一下为什么不行。

首先，每个状态本质是集合，集合中每个元素对应的有权值，根据题目我们通常要求集合的权值上界或者下界（即通常所说的 $\max -\min$ ），即集合的属性。如果我们采用 DP 递推的方式求这种属性，就必须保证后继状态的属性与前驱状态的属性是单调的。怎么理解呢？

我们定义一个自变量 $x$ ，他的定义域就是前驱节点的权值值域（当然是有上下界的）。我们根据递推方程，后继节点的权值值域 $y=f(x)$ 。只有当 $f(x)$ 在定义域内是递增的，才能通过维护前驱的上界（下界），来得到后继值域的上界（下界）。如果不满足单调递增，那么后继状态的极值不一定会在前驱状态的上界（下界）取得。动态规划的这个递推单调属性也很重要。

回到这题，因为是位运算，前驱节点的取值递增不一定使得后继节点的值递增，那么这个方法就不行了。

这道题的做法是：从高位开始枚举答案的二进制位，然后判断序列是否有分成 k 份的方案使得和的与大于等于 ans，然后做出是否保留该位 1 的决策。DP 存在性的话， $y\ge x$ 的充要条件是 $(y\&x)==x$ ，如果存在分割方案的话，每一段都必须满足 $su{m}_i\&x==x$ ，定义 $dp(i,j)$ 表示前 i 个分成 k 份是否存在方案使得和的与大于等于 x，DP 转移存在性。

AC代码：http://oj.daimayuan.top/submission/290489

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#611. 拆拆

题意：多组数据。每组给定两个数 X,Y，问有多少个长度为 Y 的整数序列之乘积为 X。 $T\le 10^5,X,Y\le 10^6$ 。

思路：拆分质因子然后分配即可。

拆分质因子的方法优化（$O(a\sim b)$ 表示预处理时间为 $a$，查询时间为 $b$）：

1. 预处理得到所有质数，然后只用质数去筛，时间复杂度 $O(n\sim \frac{\sqrt{n}}{\ln \sqrt{n}})$
2. 用埃氏筛预处理所有数，得到每个数的质因子（级数为 $\log n$），时间复杂度为 $O(n\times \log n\sim \log n)$

这道题用的是第二个优化。我们把一个数的所有质因子预处理存起来，然后直接使用即可。

vector<int> primes[M];

for(int i = 2; i < M; i ++ ){
    
	if(primes[i].size()) continue;
	for(int j = i; j < M; j += i){
    
		int t = j, cnt = 0;
		while(t % i == 0) cnt ++ , t /= i;
		primes[j].push_back(cnt);
	}
}

AC代码：http://oj.daimayuan.top/submission/291303

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#618. 选数2

题意：

题解：(贪心)代码源每日一题 Div1 选数2

思路：首先求出 $m$ 。如果存在长度为 $m$ 的子序列满足题意，那么必定存在长度为 $m$ 的子区间满足题意，因为我们固定右端点，把其他数向右移，平均数只会变得更大。这样可以二分求出 $m$ 。

求出 $m$ 之后，我们对于每个满足题意的子串，都只让左端点向左移，这样可以保证左端点向左移的距离尽可能地远。仍然是二分。

AC代码：http://oj.daimayuan.top/submission/290739

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#131. 最大公约数

题意：你有一个环，环上有 $n$ 个正整数。你能将环切成段，每段包含一个或者多个数字。

对于一个切分方案，优美程度为每段数字和的最大公约数，你想使切分方案的优美程度最大，对于 $k=1,2,\cdots ,n$ 输出答案。

题解：(数学/枚举/环上问题)代码源每日一题 Div1 最大公约数

思路：我们把环分为 $k$ 份，那么 $gcd|s_i,i\in [1,k]$ ，即 $gcd|{\sum }_{i=1}^k{s}_i=sum$ 。我们枚举 $sum$ 的因子即 $gcd$ 。因子的数量级可以认为是期望 $\log n$ ，最坏 $\sqrt{n}$的。

对于 $gcd$ ，我们可以求出最多可以分割为多少个段，因为段可合并，后缀和最大即可。如果是普通序列，那么直接求前缀和中有多少个数在 $\mathrm{mod}gcd$ 的意义下为 $0$ 。如果是环的话，我们要求前缀和中有多少个数在 $\mathrm{mod}gcd$ 的意义下相等 。

AC代码：http://oj.daimayuan.top/submission/290873