三维向量场中的通量

1.空间向量场

在空间的每一个点，都有$\overrightarrow{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$
其中$P$，$Q$，$R$，均为$x$，$y$，$z$的函数

2.流量

在2维中，向量场穿过曲线C的流量记为
$${\int }_C\overrightarrow{F}\cdot \hat{n}ds$$
在3维中，向量场穿过曲面S的流量记为
$${\iint }_S\overrightarrow{F}\cdot \hat{n}dS$$
为了方便表示，记 $d\overrightarrow{S}=\hat{n}dS$

3.将$d\overrightarrow{S}$转换为$dxdy$

（1）曲面显示表示为$z=f(x,y)$

如图所示，假设曲面$z=f(x,y)$上一小块$\Delta S$在xoy轴上的投影为矩形ABCD，由于取的块足够小，可以将其视为平行四边形。

矩形$AD$的长度为$\Delta x$（x的变化量），$AB$的长度为$\Delta y$（y的变化量）
设$E$点坐标为$(x,y,f(x,y))$，则$F$点坐标为$(x,y+\Delta y,f(x,y+\Delta y))$，其中$f(x,y+\Delta y)$可以使用线性近似，即$f(x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta y\cdot f_y^{\prime }$，则$F$点坐标为$(x,y+\Delta y,f(x,y)+\Delta y\cdot f_y^{\prime })$，同理可得$H$点的坐标为$(x+\Delta x,y,f(x,y)+\Delta x\cdot f_x^{\prime })$，则
$$\overrightarrow{EF}=\left(0,\Delta y,\Delta y\cdot f_y^{\prime }\right)$$
$$\overrightarrow{EH}=\left(\Delta x,0,\Delta x\cdot f_x^{\prime }\right)$$
$$\Delta \overrightarrow{S}=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EH}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 0& \Delta y& \Delta y\cdot f_y^{\prime }\\ \Delta x& 0& \Delta x\cdot f_x^{\prime }\end{array}\right|=\left(\Delta x\Delta y\cdot f_x^{\prime },\Delta x\Delta y\cdot f_y^{\prime },-\Delta x\Delta y\right)=\left(f_x^{\prime },f_y^{\prime },-1\right)\Delta x\Delta y$$
（说明：$\left|\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EH}\right|$为平行四边形EFGH的面积，$\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EH}$的方向为平面EFGH的法向量方向）

所以
$$d\overrightarrow{S}=\pm \left(f_x^{\prime },f_y^{\prime },-1\right)dxdy$$
正负号取决于取哪面为正方向。

（2）参数化曲面

假设可以将曲面$S$用$u$，$v$两个变量表示，即$\{\begin{array}{l}x=x\left(u,v\right)\\ y=y\left(u,v\right)\\ z=z\left(u,v\right)\end{array}$ 则位置矢量$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(u,v\right)$。
考虑与参数$\Delta u$和$\Delta v$的变化对应的曲面。
由于$\Delta u$和$\Delta v$较小，所以可以将曲面视为平行四边形，其两条边分别为$\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}\Delta u$和$\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}\Delta v$
所以
$$\Delta \overrightarrow{S}=\pm \left(\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}\Delta u\right)\times \left(\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}\Delta v\right)$$
所以
$$d\overrightarrow{S}=\pm \left(\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}\right)dudv$$
正负号取决于取哪面为正方向。

（3）曲面隐式表示为$g(x,y,z)=0$

曲面的法向量$\overrightarrow{N}=\nabla g$。
取一小块倾斜的曲面（其中一条边水平，并且取的足够小可以看做一小块平面），设取的曲面与水平面$xoy$的夹角为$\alpha$，如图所示。

则曲面面积$\Delta S$与在$xoy$轴上的投影的面积$\Delta A$关系为
$$\Delta S\cdot \cos \alpha =\Delta A$$
（注，此处不计为$\Delta x\Delta y$是因为投影的两条边不一定和x轴或y轴平行）
由于
$$\cos \alpha =\frac{\hat{k}\cdot \overrightarrow{N}}{\left|\hat{k}\right|\cdot \left|\overrightarrow{N}\right|}=\frac{\hat{k}\cdot \overrightarrow{N}}{\left|\overrightarrow{N}\right|}$$
则
$$dS=\frac{\left|\overrightarrow{N}\right|}{\hat{k}\cdot \overrightarrow{N}}dA$$
$$\hat{n}dS=\frac{\left|\overrightarrow{N}\right|\hat{n}}{\hat{k}\cdot \overrightarrow{N}}dA=\pm \frac{\overrightarrow{N}}{\hat{k}\cdot \overrightarrow{N}}dA=\pm \frac{\overrightarrow{N}}{\hat{k}\cdot \overrightarrow{N}}dxdy$$
正负号取决于取哪面为正方向。

4.散度定理（高斯公式）

如果$S$是区域$D$的闭合曲面，曲线法向量方向向外，并且向量$\vec{F}$在区域D内有定义且可微，则
$${\iint }_S\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}={\iiint }_{D}div\left(\overrightarrow{F}\right)dV,\text{其中 }div\left(\overrightarrow{F}\right)=\left(P_x+Q_y+R_z\right)$$