线性代数的本质6 逆矩阵、列空间与零空间

目录

一、 线性方程组​​​​​​​

二、逆矩阵

1. 概念 

2. 方程式求解 

 三、秩（rank）

四、列空间

五、零空间 / 核

---

 

一、 线性方程组

没有幂次方，各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）

线性方程组的求解可以对应于矩阵的相乘法则，写成如下图所示矩阵A*向量x=向量v的形式

几何意义：找到一个向量v，使得其与经过线性变换的向量x重合

二、逆矩阵

1. 概念 

当A的行列式不为0时：A矩阵*A的逆矩阵可以让向量回到原始状态，即回到i和j是[1,0]和[0,1]的状态

称之为恒等变换

 

2. 方程式求解 

 一旦找到A的逆矩阵，就可以左右两边同乘A的逆矩阵来进行对方程式的求解

几何意义：通过向量v的逆变换还原得到x

 三、秩（rank）

四、列空间

 一个三维矩阵的变换结果有多种，如果其未被压缩，则输出结果为三维空间（秩=3），若其被压缩，则输出结果可以为平面（秩=2）或直线（秩=1），这些所有可能的变换的集合称为矩阵的列空间，零向量一定包含在列空间之中

列空间就是矩阵的列所张成的空间

列空间的作用：当不使用A的逆矩阵进行对方程组的求解时，列空间的存在让我们明白什么时候解是存在的 

五、零空间 / 核

变换后落在原点的向量集合