MBA-day20 不定方程问题-练习题

1. 思路点拨

1）设未知数，列方程
2）未知数的个数多于方程的个数
3）奇偶性和整除倍数

2. 题型

2.1 例题 1

在年底献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款，经统计，捐款总额是19000元，个人捐款有100元，500元和2000元三种，求该单位捐款500人的人事为（）
A 13
B 18
C 25
D 30
E 38

答：A

解：
设个人捐款有100元，500元和2000元人数分别为x,y,x
x+y+z = 100
100x+500y+2000z = 19000 -> x + 5y+ 20z = 190

消去x
4y + 19z = 90
偶数+偶数 = 偶数
4y(偶数*偶数或奇数， y为偶数或奇数)
19z(奇数*偶数，z 一定为偶数)
当z=2, 4y+38=90 -> 4y=52 y = 13
当z=4, 4y+76=90 -> 4y=14,y 无法被整除
当y=6, 不满足

例题 2 不定方程问题：144a + 15b = 120, 求a,b

解：
144a + 15b = 720 -> 48a + 5b = 260
偶数+偶数 = 偶数
b = 2, 48a + 10 = 260， 48a = 250, 无法被整除
b = 4, 48a + 20 = 260,  48a = 240, 无法被整除
a = 5， b = 4

例题 3 不定方程问题：44a + 15b = 720

44a + 15b = 720
偶数+偶数 = 偶数, 但是每个数值都特值化，工作量太大

观察：15：可以整除 3,15， 720 可以整除 3， 15
令 a = 15, 660 + 15b = 720 -> b = 4 满足偶数

例题 4

一个工人将 99 颗弹珠装入两种盒子中，每个最大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，巧好装完，已知盒子数大于10，则小盒有（）个。
A 10
B 11
C 12
D 13
E 15

答：15

解：
设大盒子a个，小盒子b个
12a + 5b = 99
a + b > 10

根据奇偶性：12a 恒为偶，99为奇数，故5b一定要为奇数。
b：1,3,5,7,9，11,13,15

当b=11时，12a+55=99 -> 12a=44 -> a 非整数，不满足
当b=13时，12a+65=99 -> 12a=34 -> a 非整数，不满足
当b=15时，12a+75=99 -> 12a=24 -> a = 2

大盒子2个，小盒子15个

例题 5

某种考试已举行了24次，共出了426道题，每次出题的题目有25题、16题或者20题，那么其中考25题的有（）次。
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
答：B

解：
出25题、16题、20题的次数分别为a,b,c
a+b+c = 24
25a+16b+20c = 426

根据奇偶性，16b恒为偶数，20c恒为偶数，426为偶数，25a则必须要满足偶数，故a不能为奇数，只能偶数。

故a可能为2，4
当a = 2 时得到如下
b + c =22 -> 20b + 20c = 440
16b + 20c = 376
-> 4b = 64 -> b = 16, c = 8

当a=4时：
b + c = 20 -> 20b + 20c = 440
16b+20c=326
->4b = 113 -> b 非整数，不满足

故a为2，考25题的有（2）次

例题 6

有 A，B，C 三种玩具，A玩具3元一个，B玩具2元一个，C玩具1元一个，已知买三种玩具一共花了100元，则三种玩具至少了50个。
1）A玩具的数量最少
2）B玩具的数量最多
求条件1,2的充分性

答：条件1充分，条件2也充分

解：
3a + 2b + c = 100 要推出 a + b + c >= 50

1）A玩具的数量最少，即最小正整数 a =1
2b + c = 97
偶数+c = 奇数
即c:1,3,5,7,9,10
当c = 1, b = 48, 满足a + b + c >= 50
当c = 3, b = 47, 满足 a + b + c >= 50
当c = 95, b =1, 满足 a + b + c >= 50
即条件1单独充分

2）B玩具的数量最多 -> 极端条件下：令a=c=1
3a + 2b + c = 100
3+ + 2b + 1 = 100
b = 48 -> 满足a + b + c >= 50

即条件1单独充分

例题 7

小马利用外卖软件来购买烧烤，已知鱼豆腐2元一串，羊肉串4元一串，鸡翅7元一串，他一共买了12串，可以确定羊肉串的数量
1） 总共花了42元
2） 购买了2串鸡翅

答：条件1和条件2单独都不充分，条件1和2联合起来充分

解：分别设鱼豆腐、羊肉串、鸡翅的数量为a, b, c
a+b+c = 12

1) 总共花了42元
2a + 4b + 7c = 42 -> 偶数+偶数+7c = 偶数 -> 7c 一定为偶数，c 一定为偶数，无法单独推出羊肉串的数量

2）购买了2串鸡翅 -> a+b=10, 无法单独推出羊肉串数量

1）和2）条件联合
a+b=10
2a + 4b + 7c = 42 ->2a + 4b = 28 -> a + 2b = 14

b = 4, a = 6

故可以确定羊肉串为4串。

即条件1和条件2单独都不充分，条件1和2联合起来充分

例题 8

某校举行跳绳比赛，策划人员计划使用最多50元的资金购买A,B两种跳绳，其中A单价6元，计划至少买3根，B单价7元，计划至少买2根，则不同的购买方法有（）种
A 5
B 6
C 7
D 8
E 9

答案:C

解：分别设A,B跳绳购买数量为a,b
6a+7b <= 50 (a>=3, b>=2)

a=3, b=2,3,4即3种
a=4, b=2,3即2种
a=5, b=2,即1种
a=6, b=2,即1种

综合上述：共7种

例题 9

某工厂生产了100个新型零件，现有A，B，C三种机床需要安装这种部件，一台A需要12个，B需要8个，C需要5个，已知三种机床共有14台，求A机床（）台
A 3 台
B 4 台
C 6 台
D 8 台
E 10 台

答：A

解：
a + b + c = 14 -> 5a + 5b + 5c = 70
12a + 8b + 5c = 100

-> 7a + 3b = 30 -> 奇数+奇数=偶数，不太直观


a + b + c = 14 -> 8a + 8b + 8c = 112
12a + 8b + 5c = 100

-> -4a + 3c = 12 -> -偶数 + 3c = 偶数 -> 3c 要为偶数，则c要为偶数
即c=2,4,6,8,10
当c = 2 -> -4a + 6 = 12 -> -4a = 6，a<0不满足
当c = 4 -> -4a + 12 =12 -> a = 0 不满足
当c = 6 -> -4a + 18 = 12 -> -4a = -6, a 非整数，不满足
当c = 8 -> -4a + 24 = 12 -> -4a = -12, a = 3, 满足
当c = 10 -> -4a + 30 = 12 ....

例题 10

某部门组织员工参加植树，10人共植树93颗，已知每个人最少种了8颗树，最多种了10颗树，种10颗树的员工人数比种9颗树的员工人数最多多（）人。
A 2
B 3
C 4
D 5
E 6

答：D

解：
分别设种8、9、10颗树的人为a,b,c
a + b + c = 10 -> 8a + 8b + 8c = 80
8a + 9b + 10c = 93
-> b + 2c = 13 -> b + 偶数 = 奇数，即b一定为奇数，b 为 1,3,5,7,9
当b = 1, c = 6， 种10颗树的员工人数比种9颗树的员工人数多5人, 即本题答案,即最多多5人
当b = 3, c = 5,  种10颗树的员工人数比种9颗树的员工人数多2人
当b = 5. c = 4

例题 11

西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售，已知5个一袋的8元，3个一袋的售价是5元，则所用的钱数最少为76元。
1）要给47位同学每人发1个面包
2）要给50位同学每个人发1个面包
求充分性

答：条件1充分，条件2不充分

解：
根据题意：花最少的钱办更多的事情原则，就是多买数量多的面包，即多买5个一袋的8元的面包

1）要给47位同学每人发1个面包，且尽量多买每袋5个的面包最省钱
5x + 3y = 47
穷举得到：x = 7, y= 4 满足所用的钱数最少为76元

2）要给50位同学每个人发1个面包，且尽量多买每袋5个的面包最省钱
如果按最省钱的方式，全部买5个一袋的8元，50个同学每人一个，至少也需要花80元，不能推出所用的钱数最少为76元

例题 12（不清楚数位之和）

一箱书，平均分给6个小朋友，多于1本。平均分给8个小朋友，也多于一本，平均分给9个小朋友，也多于1本，这箱书最少m本，则m的各个数位之和为（）
A 10
B 3
C 4
D 5
E 9

答：A

数位之和：把各个数位上的数字相加,得出来的结果就是各个数位上的数字之和。例如,123456的各个数位上的数字之和是1+2+3+4+5+6=21。

解：分别设均分6份，8份，9份时每个小朋友得到的书本为a, b, c
6a + 1 = m -> 偶数 + 1 -> 奇数
8b + 1 = m -> 偶数 + 1 -> 奇数
9c + 1 = m -> 9c + 1 -> 奇数, c 一定为偶数
令c = 2, 则 m=19, 数位之和：1+9=10
令c = 4, 则 m=37, 数位之和：2+8=10
令c = 6, 则 m=55, 数位之和：2+8=10

答：A