格林公式挖洞法中内曲线顺时针的直观解释

视频讲解：格林公式挖洞法中内曲线顺时针的直观解释
使用格林公式的时候，取曲线逆时针为正方向，但如果曲线包围的区域内存在奇点，则不能直接使用格林公式，需要先使用挖洞法，其中内曲线为顺时针，大家记忆口诀通常是“外逆内顺”，如图所示，A为平面上的奇点
当然曲线可能并不像图示那么光滑，可能是凹凸不平，比如这样

为了作图简单，本文将使用较为简单的曲面

那么为什么内曲线是顺时针呢，本文给大家一个直观的解释。

先来看一个这样的曲面，围成的区域为黄色部分，如图所示

此区域不包含奇点，所以可以放心的使用格林公式
$${\oint }_C={\int }_{C1}+{\int }_{l1}+{\int }_{C2}+{\int }_{l2}={\iint }_D$$

我们将点B和C，点D和E逐渐靠近，直到重合，如图所示

此时$l1$和$l2$重合，方向相反，则
$${\int }_{l1}+{\int }_{l2}=0$$
所以
$${\oint }_C={\int }_{C1}+{\int }_{l1}+{\int }_{C2}+{\int }_{l2}={\int }_{C1}+{\int }_{C2}={\iint }_D$$
所以我们可以将$l1$和$l2$去掉

所以最后可以得出
$${\oint }_{C1+C2}={\iint }_D$$