高数_第2章多元函数微分学__偏导数的几何应用_空间曲线的切线与法平面

一 定义

定义： 给定空间中的曲线L,   点P₀ 是L上的一个定点，设点P是L上异于 P₀的点，  直线P₀P称为 经过P₀的一条割线。  当点P沿曲线L无限接近点P₀时，  割线的极限位置P₀T称为曲线L在点P₀的切线，   经过点P₀ 且垂直于切线的平面 π 称为曲线在点 P₀ 的 法平面 。

给定空间曲线L

L上的点P₀( x₀,  y₀,  z₀) 对应的参数为t₀，  即x₀ = x(t₀),  y₀= y( t₀),   z₀ = z(t₀)。

当割线趋向于切线时， 割线的方向向量趋向于切线的方向向量， 因此可以取切线的方向向量为

s = {x'(t₀),     y'(t₀),   z'(t₀)},   于是切线P₀T的方程为

由于切线的方向向量就是法平面 π 的法向量，  因此根据平面的点法式方程可得法平面 π 的方程为

我们将向量   称为曲线L在点P₀ 的切向量。

二  看例题