负整数及浮点数的二进制表示

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前言

对于该代码

public class hello {
    
    public static void main(String[] args) {
    
        int a = -17;
        System.out.println("二进制输出"+Integer.toBinaryString(a));
        int b = 17;
        System.out.println("二进制输出"+Integer.toBinaryString(b));
    }
}

输出的结果

故对负整数及浮点数的二进制表示好奇。

因在学习《深入理解计算机系统》这门课时，在第二章《信息的表达和处理》中又接触了相关知识，对浮点数在计算机中的表示，以及有符号和无符号整数的加法减法等知识有了新的认识。故在此进行补充。

一、负整数的二进制表示

1.原码

原码即该数的绝对值的二进制表示。在该代码中，-17的原码即为17的二进制10001，int类型的数据占用四个字节即32位，但省略前面的0。

2.反码

反码即把原码按位取反，如1变为0，0变为1。在该代码中，10001的反码为11111111111111111111111111101110。

3.补码

补码即将反码加一。在该代码中，11111111111111111111111111101110加1为11111111111111111111111111101111。即为负整数的二进制表达。

二、浮点数的二进制表示

1.公式：

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
（1） (-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
（2）尾数M表示有效数字，是一个二进制小数，它的范围是1~2-ε或者0 ~ 1-ε。
（3）2^E表示指数位，E为阶码。

例如：
将float=1.25f转化为二进制。
s=0;M=1.25;E=2;
对于float类型。首位为符号位，接下来的8位为阶码部分，余下的23位为尾数部分。
1.首先将该数化为二进制数。

第一步：
以小数点为界，分为整数和小数部分。
在该题中分为1和0.25两个部分。
第二步：
整数部分用除二取余法而小数部分用乘二取整法。
整数部分为1，小数部分为01。
第三步：
合并整数和小数部分。即1.01。

2.将二进制小数转为IEEE浮点数标准格式V

3.指数部分：实际指数值2加上一个（指数偏移值），对于32位单精度浮点数来说，偏移值为127，所以exponent值为127 + 2 = 129 ,二进制表示为10000001。

4.有效字位，又叫尾数，即2. 中二进制表示值的小数部分，即111101001，再补齐至23位，即得到fraction处位表示为：01000000000000000000000

5.结果0 10000001 01000000000000000000000。

2.浮点数的分类（根据阶码分类）

1：规格化的值

这是最普遍的，当exp的值不全为1或不全为0时皆为该情况。在这时，阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数,即E=e-Bias，e为无符号数，Bias=（2的k减一次方）减一。（k是阶码位，由该数的类型决定，若如float一样为单精度浮点型，则k的值为8；为双精度浮点型k的值则为16。M的值为1+f。

2：非规格化的值

当阶码域全为0时，为非规格化。阶码值E=1-Bias,尾数的值M=f，是小数字段的值，不包含隐含的1。

3：特殊值

当阶码全为1时，为该情况。
当小数域全为0时，得到的值为无穷，正负无穷取决于符号位s的值。
当小数域非零时，结果被称为“NAN”，即“Not a Number”。

3.浮点数的舍入

浮点数的舍入有向偶数舍入，向0舍入以及向上或向下舍入等方法，在面对不同情况时，他们都可能是最接近真实值的舍入方式。