当前位置：网站首页>自控原理学习笔记-系统稳定性分析（1）-BIBO稳定及Routh判据

自控原理学习笔记-系统稳定性分析（1）-BIBO稳定及Routh判据

2022-07-27 16:22:00 【Miracle Fan】

自控原理学习笔记
自控原理学习笔记专栏

定义：如果一个系统在一个有界输入或扰动作用下其响应是有限的。
充要条件：
$y(t)=\int_0^tg(\tau)u(t-\tau)d\tau\Rightarrow |y(t)|\le \int _0^t|g(\tau)|\cdot |u(t-\tau)|d\tau \le M\int_0^t|g(\tau)|d\tau$
若要使y（t）有界，则充要条件为 $|g(\tau)|$ 绝对可积
不可积例子： $g(t)=\frac{1}{t-1}$
对于CLTIS，满足BIBO则只有左半平面极点：
假设传递函数是冲激响应的Laplace变换，于是：
$G(s)=\int_0^\infty g(t)e^{-st}dt\Rightarrow|G(s)|\le\int_0^\infty |g(t)|\cdot|e^{-st}|dt=\int_0^\infty|g(t)|\cdot|e^{-\sigma t}|dt\\ \Longrightarrow if \quad\sigma \ge 0,\quad |G(s)||_{s=\sigma+iw}\rightarrow\infty\le\int^\infty_0|g(t)|\cdot|e^{-\sigma t}|dt\le\int_0^\infty|g(t)|dt$

$∣ g (t) ∣$ 无界，与BIBO稳定矛盾，所有只有当 $\sigma<0$ ，满足条件。

定义：当t趋近于无穷，由初始条件产生的响应趋于0。
稳定充分必要条件：
- 对于 $\forall s_i,Re(s_i)<0时，CLTIS渐近稳定$
- $Re(s_i)>0||\text{有重虚根}，CLTIS不稳定$
- 仅存在单重虚根，其他 $Re(s_j)<0$ ,LTIS临界定界。
相关例子：

系统特征方程所有系数大于0

列些Routh表
$s^n\quad a_n \quad a_{n-2}\quad a_{n-4} \quad \dots$
$s^{n-1}\quad a_{n-1} \quad a_{n-3}\quad a_{n-5} \quad \dots$
$s^{n-2}\quad b_1 \quad b_2\quad b_3 \dots$
$s^{n-3}\quad c_1 \quad c_2\quad \dots$
…………
$s^0 \quad h_1$
常规计算
$b_1=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n}& a_{n-2} \\ a_{n-1}& a_{n-3} \end{bmatrix} } {a_{n-1}} \quad b_2=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n}& a_{n-4} \\ a_{n-1}& a_{n-5} \end{bmatrix} } {a_{n-1}}\\ c_1=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n-1}& a_{n-3} \\ b_1&b_2 \end{bmatrix} } {b_1} \quad c_2=-\frac{ \begin{bmatrix} a_{n-1}& a_{n-5} \\ b_1&b_3 \end{bmatrix} } {b_1}$
判断稳定方法：
第一列系数符号改变次数，就是特征根位于右半s平面的个数
稳定充要条件：表中第一列系数全大于0