Polygon 3D（三维平面多边形）的法向量的计算（MeshLab默认的计算）

目的：网格法向量的计算

最近发现一个非常有意思的东西，网上的资料较少，所以记下来供大家查阅，
就是在网格化三维polygon 3d的时候，对于polygon 3d的法向量和网格化为三角形的时候。生成obj文件的时候三角面片的方向只和三角形的顶点顺序有关。如果三角面片上进行顶点的normal设置，可能毫无效果。在meshlab中只和顶点的顺序有关。polygon 3d的法向量和三角面片的法向量一致。

三角面片的法向量：
测试它是左手坐标系还是右手坐标系生成的法向量？从顶点的顺序（也是半面结构）来看它是左手坐标系生成的法向量。

为了测试我们要了解向量叉乘的几何意义，如果左乘的话，它是右手坐标系下做的（可以这样规定）。它的几何意义如下：

可以看出来，在$a\times b$ 是左乘的角度可以看出来，右手坐标系，从$a$到$b$的方向。
对于三角形的面片的方向，可能不一样。它规定了一个顺序。如果$p0,p1,p2$三个顶点的顺序，然后我们需要计算它是哪个方向为主。需要看一下方向。在测试的途中，
v 0.0 0.0 0.0
v 0.0 1.0 0.0
v 1.0 0.0 0.0
f 3 2 1
从这个可以看到，
$p0=(1,0,0);p1=(0,1,0);p3=(0,0,0)$,它的顺序，

可以得到normal =（0,0,1）,
如果从顶点的顺序来看的话。

它是典型的左手坐标系。如果用数学中的向量来算的话，可能需要改变一下思路，需要计算两个向量的叉乘。会得到$a=(p1-p0);b=(p2-p0)$，然后叉乘$a\times b$可以得到。就是那种从它其实和逻辑是自洽的，因为我们如果用$(p1-p0)\times (p2-p1)$这个不是三角形的夹角，而是180-夹角，。所以叉乘可能需要变化一下，对夹角的计算。代码如下：

Eigen::Vector3f GetNormalFrom3Points(Eigen::Vector3f& a, Eigen::Vector3f& b, Eigen::Vector3f& c)
	{
    
		Eigen::Vector3f e1 = b - a;
		Eigen::Vector3f e2 = c - a;
		
		Eigen::Vector3f e1_(e1.x, e1.y, e1.z), e2_(e2.x, e2.y, e2.z);
		Eigen::Vector3f normal = e1.cross(e2);
		if (normal.norm() < 0.0001) {
    	//如果太小了，可以返回(0,0,0)
#ifdef LIULINGFEI
			printf("result = %f, %f, %f\n", 0, 0, 0);
#endif
			return Eigen::Vector3f(0, 0, 0);
		}
		else {
    
			Eigen::Vector3f temp = normal.normalized();
#ifdef LIULINGFEI
			printf("result = %f, %f, %f\n", temp(0), temp(1), temp(2));
#endif
			return normal.normalized();
		}
	}

网上可能对于三角面片的法向量有一些资料，但是对于polygon 面片的法向量可能需要一些，可能不一样。它需要对每一个顶点计算法向量（邻近的顶点构成三角形，然后计算这个三角形的法向量然后计算这个顶点的反向量），然后区平均值。但是也可以计算polygon的法向量了。代码如下：

Eigen::Vector3f GetPolygonNormalFrom3Points(std::vector<Eigen::Vector3f>& poly_pnts)
{
    
	Eigen::Vector3f sum(0,0,0);
	for(int i = 0; i < poly_pnts.size(); ++i)
	{
    
		Eigen::Vector3f pre_pnt = poly_pnts[(i-1)%poly_pnts.size()];
		Eigen::Vector3f pnt = poly_pnts[(i)%poly_pnts.size()];
		Eigen::Vector3f next_pnt = poly_pnts[(i+1)%poly_pnts.size()];
		Eigen::Vector3f tmp_normal = GetNormalFrom3Points(pre_pnt, pnt, next_pnt);
		//对于其中的tmp_normal 不一样，可能不同的权重，但是我都归一化了，得到相应的法向量。
		sum += tmp_normal;
	}
	if(poly_pnts.empty())
	{
    
		return sum;
	}
	else
	{
    
		return sum.normal();
	}
}

感悟：测试这个polygon的法向量得到。