自控原理学习笔记-系统稳定性分析（2）-环路分析及Nyquist-Bode判据

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环路分析

3. 环路分析

3.1环路分析基本思想：

1. 不同频率正弦信号在线性系统中的传输，输出被放大、缩小还是自持振荡完全取决于频率特性。

2. 记（-1，i0）为临界点。相角交越频率为当相角为-180°时的频率，此时若幅值为1则为自激条件。

3. 简化Nyquist判据：

   如果$|L(i{w}_{pc})>1|$，环路上$w_{pc}$信号被放大，闭环系统不稳定。

   如过$|L(i{w}_{pc})<1|$，环路上$w_{pc}$信号被衰减，闭环系统稳定。

3.2 稳定程度的性能指标（相对稳定）

1. 增益裕度

   ​
   $$\begin{gathered} g_m=\frac{1}{|L(i{w}_{pc})|} \\ \text{要求:}{g}_m\ge 2 \end{gathered}$$
   

2. 相角裕度
   $$\begin{gathered} {\phi }_m=180°+\angle L(i{w}_c) \\ {\phi }_m=30°\sim 60° \end{gathered}$$

3. 模裕度(当有谐振需要考虑模裕度)
   $$s_m=\underset{w}{\min }|L(iw)+1|=\frac{1}{\underset{w}{\max }|S(iw)|}=\frac{1}{M_s}$$
   

3 裕度求法

3.3 环路整形

1. 对于开环稳定、闭环不稳定的系统，通过降低开环增益可以避开临界点，使系统闭环稳定
2. 通过控制器给系统引入开环零极点，改变频率特性的形状，绕开临界点。

4.Nyquist判据

4.1 与幅角原理关系

（1）讨论的闭域限定了右半平面，复变量的在右半平面的变化等价于频率从负无穷到正无穷

（2）闭环正方向的路径方向改为顺时针

（3）限定讨论的复变函数1+L，其零点就是闭环传递函数的极点，其极点就是开环传函的极点

（4）从1+L到L也就是将临界点原点变到（-1，i0）

4.2 补圆

4.3判别方法

设开环传递函数$L(s)$右半复平面的极点数为P，

1. Nyquist曲线顺时针围绕（-1，i0）圈数为$w_n$,则闭环系统在右半复平面的极点数为$N=w_n+P$

2. 闭环系统稳定的充要条件是N=0，即Nyquist曲线围绕（-1，i0）的逆时针圈数为P

3. 相关说明：L（s）若具有RHP极点，闭环系统稳定必要条件$|L(i{w}_{pc})|>1$，即必须要绕（-1，i0）。

4.4 相关例子

开环极点数	0	0	2
顺时针围绕圈数	1	1	-2
闭环极点	0稳定	0稳定	0稳定

2. n个积分环节补圆$N\pi$

3.

系统增加开环极点，即将系统相角变大，使之不用穿越至第二象限，从而达到使$w_n=0$.

存在纯虚极点的情况：

5.非线性系统稳定性及自振分析

5.1 将Nyquist判据应用到非线性系统判定

利用$1+N(A)G(s)=0$，得到$G(s)=-\frac{1}{N(A)}$，将线性系统中的Nyquist判据移植到非线性系统中，临界点-1变成了临界线$-\frac{1}{N(A)}$

5.2 自振必要条件

负倒曲线$–\frac{1}{N(A)}$与$G(iw)$有交点。在交点处于临界稳定状态，满足$N(A)\ast G(iw)=-1$即：
$$\{\begin{array}{c}|N(A)|\cdot |G(iw)|=1\\ \angle N(A)+\angle G(iw)=-180°\end{array}$$

5.2判断自激振荡的步骤

1. 在同一个平面上，画开环传函与非线性环节的负倒曲线；

2. 根据非线性系统自振分析划分稳定区与不稳定区域，观察两曲线间的关系，包围区域为不稳定区域;

3. 若存在从沿着w增大方向，有从不稳定区域到稳定区域，则存在稳定的自振点；若存在自振，再依1+N(A)G(iω)=0列写两个方程可求出A和ω。

   

6.Bode图稳定性分析

6.1 与Nyquist对应关系

Nyquist图	Bode图
单位圆	幅相曲线0dB线
单位圆外部和内部	幅相曲线上侧和下侧
负实轴	相角为-180度曲线
$w_{pc}和w_c$对应关系如下	$w_{pc}和w_c$对应关系如下
积分环节nyquist补圆$\nu \pi$	相频曲线向上补$\nu \frac{\pi }{2}$
等幅振荡$\frac{1}{(s^2+w_n^2{)}^2}$,幅相半闭合曲线（Nyquist的一半）需要补$\nu \pi$从$w_n^{-}到w_n^{+}$	相频向下补$\nu \pi$

6.2 相频特性-穿越次数

限定：正负穿越一定要在穿越频率以内
注意补相角后可能存在半穿越，-180往上为正半穿越，往下为负半穿越

6.3 计算相关裕度

7.计算稳定性步骤

1. 计算$w_{pc}$：利用各个环节贡献相角量进行计算，避免使用将iw代入开环传递函数进行化简。