MCS：连续随机变量——LogNormal分布

Lognormal

对数正态分布与正态分布变量的关系如下：$x$:对数正态变量，$y$正态变量。

$$y=ln(x)$$

$$x=e^y$$

变量$y$是正态变量，其均值和方差记为：${\mu }_y，{\sigma }_y^2$，对数正态变量$x$的均值和方差记为：${\mu }_x，{\sigma }_x^2$，符号表示为：

$$x\sim LN({\mu }_y,{\sigma }_y^2)$$
$$y\sim N({\mu }_y,{\sigma }_y^2)$$

注意：变量$x$的参数是变量$y$的均值和方差，变量$x,y$参数之间的关系如下：

$${\mu }_x=exp[{\mu }_y+{\sigma }_y^2/2]$$

$${\sigma }_x^2=exp[2{\mu }_y+{\sigma }_y^2][exp({\sigma }_y^2)-1]$$

$${\mu }_y=ln[{\mu }_x^2/\sqrt{{\mu }_x^2+{\sigma }_x^2}]$$

$${\sigma }_y^2=ln[1+{\sigma }_x^2/{\mu }_x^2]$$

生成参数为${\mu }_y，{\sigma }_y^2$的随机的对数正态变量$x$:

1. Generate a random standard normal variate, $z$
2. A random normal variate becomes : $y={\mu }_y+z\times {\sigma }_y$
3. The random lognormal variate is $x=e^y$
4. Return x.

例：设$x$是一个对数正态变量，其均值和方差为：${\mu }_x=10，{\sigma }_x^2=400$，满足这个条件的随机对数正态变量计算过程如下：

1. 计算出正态变量$y$的均值和方差：
   $${\mu }_y=ln[{\mu }_x^2/\sqrt{{\mu }_x^2+{\sigma }_x^2}]=1.498$$

$${\sigma }_y^2=ln[1+{\sigma }_x^2/{\mu }_x^2]=1.609$$

$${\sigma }_y=1.269$$

2. 生成一个标准的随机正态变量N(0, 1), $z=1.37$
3. 根据标准正态变量计算得到随机正态变量:$y={\mu }_y+z\times {\sigma }_y=1.498+1.37\times 1.269=3.236$
4. 随机对数正态变量:$x=e^y=e^{3.236}=25.44$
5. $x=25.44$

生成对数正态分布变量

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_normal_var(mean=0, std=1, method=2):
    if method == 2:
        sum_u = np.random.uniform(0, 1, (12,)).sum()
        z = -6.0 + sum_u
    else:
        u1 = np.random.uniform(0, 1)
        u2 = np.random.uniform(0, 1)
        z = np.sqrt(-2 * np.log(u1)) * np.cos(2 * np.pi * u2)
    if mean == 0 and std == 1:
        return z
    else:
        return mean + z * std


def generate_lognormal_var(mean=0, variance=1, n=10000):
    mu_y = np.log(mean*mean / np.sqrt(mean * mean + variance))
    sigma_y = np.log(1 + variance/(mean * mean))
    std_y = np.sqrt(sigma_y)
    x = [np.exp(generate_normal_var(mu_y, std_y)) for i in range(n)]
    return x

ln_x = generate_lognormal_var(1, 0.25)

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