「题解」带分数

（数学老师：你这是最简分数吗你！）

原题目链接：link

  这道是深搜，平均用时 $3000\mathrm{ms}$；个人做法是暴力枚举，用时 $139\mathrm{ms}$。
  但是我不知道这个同学 （变态）$130\mathrm{ms}$ 是怎么做到的……

「我的做题历程」：

step1：观察题面。

  「带分数中，数字 $1\sim 9$分别出现且只出现一次（不包含 $0$），输出该数字 $N$ 用数码 $1\sim 9$不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数」，先闪出的是深搜，但由于想不出怎么搜，转战暴力。（题型：DFS or 暴力枚举）

step2：思考解法。

  抓住带分数构成特点：整数+假分数，即 $x=a+\frac{b}{c}(a,b,c\ne 0)$（假分数可化简为整数，即分子可以整除分母$(b=kc,c\mid b)$ ）。
  于是想到先枚举前面的整数 $a$，然后得到后面的假分数化简的结果 $k$，通过枚举 $c$ 来得到 $b$。再判断 $a,b,c$ 是否满足题意即可。
  总不能无限枚举吧，来估范围。分子最小为 $1$，则整数部分最小为 $2$，分母最大可取 $9876543$，还能得到当数 $N$ 大于 $9876545$ 时无解（然而 $N\le 10^6$ ，这个 $N$ 的范围毫无用处）。

step3：完成代码。

代码（抵制学术不端行为，拒绝 Ctrl + C）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n, sum;
bool vis[11]; // 用于判断数码是否重复、遗漏
inline bool nosame(int x) {
     // 判断一个数的数码是否重复
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    while (x != 0) {
    
        if (vis[x % 10] || x % 10 == 0) {
    
            return false;
        }
        vis[x % 10] = true;
        x /= 10;
    }
    return true;
}
inline int len(int x) {
     // 获取该数位数（长度）
    int l = 0;
    while (x != 0) {
    
        l++;
        x /= 10;
    }
    return l;
}
inline bool nopublic(int a, int b, int c) {
     // 判断带分数中有无重复的数码
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    while (a != 0) {
    
        vis[a % 10] = true;
        if (a % 10 == 0) {
    
            return false;
        }
        a /= 10;
    }
    while (b != 0) {
    
        if (vis[b % 10] || b % 10 == 0) {
    
            return false;
        }
        vis[b % 10] = true;
        b /= 10;
    }
    while (c != 0) {
    
        if (vis[c % 10] || c % 10 == 0) {
    
            return false;
        }
        vis[c % 10] = true;
        c /= 10;
    }
    return true;
}
inline void get(int x) {
    
    int l = len(n - x);
    // 枚举倍数
    for (int i = 1; i <= 9876543; i++) {
     // 分子至少为一，整数部分就只能为二，分母最大可取 9876543
        if (nosame(x * i) && nosame(i) && nopublic(x * i, i, n - x) && len(x * i) + len(i) + l == 9) {
    
            printf("%d=%d+%d/%d\n", n, n - x, x * i, i);
            sum++;
        }
        if (len(x * i) + len(i) + l > 9) {
     // 如果数码大于 9 位就不用再算了
            break;
        }
    }
    return;
}
int main() {
    
    freopen("fraction.in", "r", stdin);
    freopen("fraction.out", "w", stdout);
    while (~scanf("%d", &n)) {
    
        sum = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
    
            if (nosame(i)) {
    
                get(n - i);
            }
        }
        printf("%d\n", sum);
    }
    return 0;
}

数据 Hack 了呢~你的 Accepted 被 Hack 掉了吗~(￣y▽,￣)╭

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让我们来解决 『带分数』 叭~

Bye bye!!1