【高等数学】【1】函数、极限、连续

1. 映射与函数

1.1 映射

1.2 复合映射

设有两个映射

1.3 函数

1.3.1 绝对函数

1.3.2 符号函数

1.3.3 取整函数

1.3.4 分段函数

一个函数要用几个式子表示，这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数

1.4 函数的特性

注意是有等于

1.5 奇偶函数

• 一个定义域对称的函数，一定能拆成一个奇函数和一个偶函数

1.6 初等函数

1.7 反双曲函数

1.8 幂指函数

2. 数列的极限

2.1 数列极限的定义

2.2 收敛数列的性质

• 极限的唯一性，如果数列{ $x_n$}收敛，那么它的极限唯一
• 收敛数列的有界性，如果数列{ $x_n$}收敛，那么数列一定有界
• 
• 

3.函数的极限

3.1 函数极限定义【自变量趋于有限值时】

3.2 单侧极限

3.3 函数极限定义【自变量趋于无穷大时】

3.4 函数极限的性质

4. 无穷小与无穷大

4.1 无穷小定义

4.2 无穷大定义

4.3 定理

5. 极限运算法则

• 两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小之和也是无穷小
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
• 
• 
  注意，若$y_n$=0，则关于商的极限的运算法则不能应用
• 
• 

6. 极限存在准则 两个重要极限

6.1 两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$$
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

6.2 极限存在准则

6.2.1 数列极限存在准则1

6.2.2 函数极限存在准则1【夹逼准则】

6.2.3 数列极限存在准则2

单调有界数列必有极限
注意: 有界数列不一定有极限

6.2.4 函数极限存在准则2【柯西极限存在准则 (柯西审敛原理)】

7. 无穷小的比较

7.1 定义

7.2 等价无穷小定理

7.3 加减法使用等价无穷小

7.4 等价无穷小【常用】

7.5 注意事项

• 无穷小应用于乘除法

8.函数的连续性与间断点

8.1 连续性定义

方式一

方式二

8.2间断点

8.2.1无穷间断点【第二类】

8.2.2 振荡间断点【第二类】

8.2.3 可去间断点【第一类】

8.2.4跳跃间断点【第一类】

8.2.5 第一类间断点+第二类间断点

9. 连续函数的运算与初等函数的连续性

9.1 连续函数定理

9.2初等函数的连续性

• 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

10. 闭区间上连续函数的性质

10.1 有界性与最大值最小值定理

10.2 零点定理与介值定理

10.2.1 零点定理

10.2.2 介值定理

10.3 一致连续性