小波变换学习笔记

傅里叶变换->短时傅里叶变换->小波变换

1. 傅里叶变换（FFT）：
   1. 傅里叶变换可以分析信号的频谱，但“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”
   2. 傅里叶变换只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但对各成分出现的时刻不知道，所以时域相差很大的两个信号，可能频谱图是一样的
   3. 自然解的大量信号都是非平稳的
   4. 时频分析：知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值。
   5. 傅里叶变换将无限长的三角函数作为基函数：
   6. 这个基函数会伸缩、会平移（本质不是平移，而是两个正交基的分解），缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。使用基函数不断与信号相乘，某个尺度（宽/窄）得到的结果可理解为信号所包含当前尺度对应频率成分有多少。
   7. 对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，用无线长的三角函数无法拟合好突变信号：
2. 短时傅里叶变换（STFT）：
   1. 加窗，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再进行FFT，即可知道每个时间点出现的频率了”
   2. 局限：窗口长度
      1. 太窄：频率分辨率差（窗内的信号太短，导致频率分析不够精准）
      2. 太宽：时间分辨率差（时域上不够精细）
   3.   对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口，但STFT的窗口是固定的
   4. 总结：STFT：给信号加窗，分段做FFT
3. 小波变换：
   1. 直接把傅里叶变换的基换了：将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基

   2. 从公式可看出，与傅里叶变换的不同（变量只有频率w）,小波变换有两个变量：尺度a和平移量τ，尺度a（对频率成反比）控制小波函数的伸缩，平移量τ（对应时间）控制小波函数的平移，

   3. 当在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，即可知道信号在每个位置都包含哪些频率成分

   4. 从傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换可以得到一个时频谱

   5. 处理突变信号：

   6. 小波能实现正交化是优势：因为采用正交基时，变换域系数没有冗余信息，变换前后能量相等，即用最少的数据表达最大的信息量，利于数值压缩领域。

   7. 但正交一定由于不正交，如果是图像增强，则多一些冗余信息利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。