Matlab 信号处理

最近需要用到 Matlab 仿真雷达成像
对于一些函数的细节还是有挺多地方需要注意的 ️

首先，有问题可以之间参考 官方文档

1. FFT

需要理解以下几个问题：

Q：为什么需要使用 fftshift
Q：fft 返回的序列的每个分量分别代表什么频率（数字频率和物理频率的联系）

笔记贴图（不想打字） ️ ️ （对了，这个是官方给的例子） ️ ️

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问题答案（个人理解）

A：卷积具有周期性，平移后能够更直观的显示频谱

A：序列长度为 $N$，fft 输出序列长度也是 $N$，则 fft 的第 k 个分量对应的数字频率为 $\frac{2\pi }{N}k$，对应物理频率为 $\frac{k}{N}\times F_s$，因此 fft 的频率分辨率为 $\frac{F_s}{N}$，序列越长，频率分辨率越高，频谱越精细。

遗留问题

x2 = linspace(1, 3, 3);
fft(x2)
fft(x2, 6)

fft(x2, 6) 的输出是否等价于 fft(x2) + 插值

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2. 卷积

2.1 时域计算卷积

卷积表达式：
$$g(n)=x(n)\ast y(n)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(m)\times y(n-m)$$
可以使用 conv 计算卷积：

clc
x1 = linspace(1, 4, 4);
x2 = linspace(1, 3, 3);
y1 = conv(x1, x2)      
% 1  4  10  16  17  12

2.2 频域计算卷积

N = length(x1) + length(x2) - 1;
Nfft = 2^nextpow2(N);
y2 = ifft(fft(x1, Nfft).*fft(x2, Nfft)) 
% 1.0000  4.0000 10.0000 16.0000 17.0000 12.0000 0 -0.0000

两种方法输出一样，只是后者尾部多了零（原因还未弄清楚，学完 DSP 补上）

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3. 频域相关运算

相关运算
$$r_{xy}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)\times y(n+m)$$

对序列做相关运算可以之间调用 xcorr 函数

x1 = linspace(1, 12, 12);
x2 = linspace(1, 8, 8);
y1 = xcorr(x1, x2)

也可以使用卷积计算互相关函数：

$$r_{xy}(m)=x^{\ast }(-m)\ast y(m)$$

也可以在频域做相关运算
$$r_{xy}(m)=f^{-1}(f(x_1)\times f^{\ast }(x_2))$$

matlab 程序

x1 = linspace(1, 12, 12);
x2 = linspace(1, 8, 8);
y1 = xcorr(x1, x2)

N = length(x1) + length(x2) - 1;
Nfft = 2^nextpow2(N);
cor = fftshift(ifft(fft(x1, Nfft).*conj(fft(x2, Nfft))));
range = Nfft/2+1 - (N-1)/2 : Nfft/2+1 + (N-1)/2;
y2 = cor(range)

注意，下面两种写法不等价：

cor_xy = fftshift(ifft(fft(X).*conj(fft(Y))))
cor_yx = fftshift(ifft(fft(Y).*conj(fft(X))))