413-二叉树基础

1、二叉树的种类

解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树。

1.1、满二叉树

满二叉树： 如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有2^k-1个节点的二叉树。

1.2、完全二叉树

定义： 在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。

优先级队列其实是一个堆，堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系。

1.3、二叉搜索树（BST）

二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树：

1.4、平衡二叉搜索树（AVL）

平衡二叉搜索树： 又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

如图：

最后一棵 不是平衡二叉树，因为它的左右两个子树的高度差的绝对值超过了1。

C++中map、set、multimap，multiset的底层实现都是平衡二叉搜索树（红黑树），所以map、set的增删操作时间时间复杂度是logn；

注意：unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_map底层实现是哈希表。

2、二叉树的存储方式

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。

链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。

顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在散落在各个地址的节点串联一起。

2.1、链式存储

2.2、数组存储

顺序存储的方式如图：

用数组来存储二叉树如何遍历的呢？

• 如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。

2.3、二叉树的遍历方式

二叉树主要有两种遍历方式：

• 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
• 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

深度优先遍历：

• 前序遍历（递归法，迭代法）
• 中序遍历（递归法，迭代法）
• 后序遍历（递归法，迭代法）

广度优先遍历：

• 层次遍历（迭代法）

深度优先遍历中： 有三个顺序，前中后序遍历；前中后序指的就是中间节点的位置就可以了。

• 前序遍历： 中左右
• 中序遍历： 左中右
• 后序遍历： 左右中

二叉树中深度优先和广度优先遍历实现方式：

• 我们做二叉树相关题目，经常会使用递归的方式来实现深度优先遍历，也就是实现前中后序遍历，使用递归是比较方便的。
• 栈其实就是递归的一种是实现结构，也就说前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使用非递归的方式来实现的。
• 广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的，因为需要先进先出的结构，才能一层一层的来遍历二叉树。

3、二叉树的定义

struct TreeNode {
    
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {
    }
};