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切线与切平面

2022-06-13 00:53:00 【UQI-LIUWJ】

1 空间曲线的切线与法平面

对空间曲线，其在点M_0=(x_0,y_0,z_0)=(x(t_0),y(t_0),z(t_0))处的切线方程是\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}

法平面方程是

 

注意，比如在M0处，y'(t0)=0，那么我们应该写成：

\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)} ，y-y0=0

2 曲面的切平面与法线

对空间曲面F(x,y,z)=0，M_0(x_0,y_0,z_0)为曲面上的一个点，那么向量n=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))和空间曲面上过M0处的切线垂直

所以切平面方程为

法线方程为

 

如果α、β、γ分别表示曲面z=f(x,y)的法线的方向角，那么曲面法线的方向余弦可以表示为：

cos\alpha=\frac{\pm F_x}{\sqrt{1+F_x^2+F_y^2}}

cos\beta=\frac{\pm F_y}{\sqrt{1+F_x^2+F_y^2}}

cos\gamma=\frac{\mp 1}{\sqrt{1+F_x^2+F_y^2}}

γ为锐角时，取下面一组符号，为钝角时，取上面一组符号

 

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