【动态规划】—— 背包问题

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背包问题的分类

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01背包问题 

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

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 在求选 第 i 个物品的状态转移方程的时候，我们可以取出  的最大值再加上 w[i]

不选第 i 个物品的话，状态转移方程就是   

 

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

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从二维优化到一维 

通过  DP 的状态转移方程，我们发现，每一阶段的 i 的状态只与上一阶段的 i-1 的状态有关。在这种情况下，可以使用称为“滚动数组”的优化方法，降低时间开销。 

因为  这里的  一定比  更早计算出来，所以  计算得到的是第 i 层的，而在我们上述的 DP 方程中，所用的是第 i - 1 层的数据，所以如果是从小到大遍历体积的话，会出现“数据污染” 的情况。所以体积的枚举要从大到小来枚举。

一维优化代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = m; j >= v[i]; j -- )
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
        
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

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完全背包问题

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

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对于朴素做法有：   类比01背包问题

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

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通过比较下列等式可以发现：

得到： 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

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一维优化

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++ )
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

对比01背包和完全背包问题，有以下差异 ：

01背包：

完全背包：

对于完全背包来说，体积的枚举可以从 v[i] 枚举到 m，因为它每 i 层的更新使用的是第 i 层的数据，不存在“数据污染”的问题。

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 多重背包问题

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

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朴素写法 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
    cout << f[n][m] <<  endl;
    
    return 0;
}

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多重背包的二进制优化 

众所周知，从  这 k 个2的整数次幂中选出若干个相加，可以表示出  之间的任意整数。进一步的，我们求出满足  的最大整数 p，设 那么：

1. 根据 p 的最大性，有  ,可推出 ，因此  选出若干个相加可以表示出  之间的任意整数；
2. 从  中选出若干个相加，可以表示出  之间的任何整数，而根据 Ri 的定义， ，因此， 选出若干个可以表示出 之间的任意整数。

综上所述，我们可以把数量为  的第 i 个物品拆成 p + 2个物品，他们的体积分别为：

        

这 p + 2 个物品可以凑成  之间所有能被Vi整除的数，并且不能凑成大于 Ci * Vi 的数。这等价于原问题中体积为 Vi 的物品可以使用 0~Ci 次。该方法仅将每种物品拆分成了  个，效率较高。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 25000, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while(k <= s)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if(s > 0)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }
    n = cnt;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

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 分组背包问题

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

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AC代码 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 0; j < s[i]; j ++ )
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = m; j >= 0; j -- )
            for(int k = 0; k < s[i]; k ++ )
                if(v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}