Leetcode（69）——x 的平方根

题目

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

• $0$ <= x <= $2^{31-1}$

题解

方法一：暴力破解

思路

​​  因为 $x$ 的算术平方根向下取整的值一定在 $[0,x]$ 中，所以直接暴力地从 $0$ 遍历到 $x$，直到找到第一个平方大于 $x$ 的值，它减去 $1$ 就是我们要找到的值。

代码实现

我自己的：

class Solution {
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
        long n;
        for(n = 0; n*n <= x; n++);
        return n-1;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(x)$，最坏情况是从 $0$ 查找到 $x$ 才找到
空间复杂度：$O(1)$。

方法二：二分查找

思路

​​  由于 $x$ 平方根的整数部分 $\text{ans}$ 是满足 $k^2\le x$ 的最大 $k$ 值，因此我们可以对 $k$ 进行二分查找，从而得到答案。

​​  二分查找的下界为 $0$，上界可以粗略地设定为 $x$。在二分查找的每一步中，我们只需要比较中间元素 $\text{mid}$ 的平方与 $x$ 的大小关系，并通过比较的结果调整上下界的范围。由于我们所有的运算都是整数运算，不会存在误差，因此在得到最终的答案 $\text{ans}$ 后，也就不需要再去尝试 $\text{ans}+1$ 了。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        while (l <= r) {
    
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long long)mid * mid <= x) {
    
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
    
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

我的：

class Solution {
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
        long min = 0, max = x, mid;
        while(min <= max){
    
            mid = (min + max)/2;
            if(mid*mid < x){
    
                if((mid+1)*(mid+1) > x) break;
                else min = mid+1;
            }else if(mid*mid > x) max = mid-1;
            else break;
        }
        return mid;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(logx)$，即为二分查找需要的次数。
空间复杂度：$O(1)$。

方法三：牛顿迭代法

思路

​​  牛顿迭代法是一种可以用来快速求解函数零点的方法。

为了叙述方便，我们用 $C$ 表示待求出平方根的那个整数。显然，$C$ 的平方根就是函数
$$y=f(x)=x^2-C$$

的零点。

​​  牛顿迭代法的本质是借助泰勒级数，从初始值开始快速向零点逼近。我们任取一个 $x_0$ 作为初始值，在每一步的迭代中，我们找到函数图像上的点 $(x_i,f(x_i))$，过该点作一条斜率为该点导数 $f^{\prime }(x_i)$ 的直线，与横轴的交点记为 $x_{i+1}$。$x_{i+1}$ 相较于 $x_i$ 而言距离零点更近。在经过多次迭代后，我们就可以得到一个距离零点非常接近的交点。下图给出了从 $x_0$ 开始迭代两次，得到 $x_1$ 和 $x_2$ 的过程。

算法

我们选择 $x_0=C$ 作为初始值。

在每一步迭代中，我们通过当前的交点 $x_i$，找到函数图像上的点 $(x_i,x_i^2-C)$，作一条斜率为 $f^{\prime }(x_i)=2x_i$ 的直线，直线的方程为：
$$\begin{array}{rl}{y}_l& =2x_i(x-x_i)+x_i^2-C\\ & =2x_{i}x-(x_i^2+C)\end{array}$$

与横轴的交点为方程 $2x_{i}x-(x_i^2+C)=0$ 的解，即为新的迭代结果 $x_{i+1}$：
$$x_{i+1}=\frac{1}{2}\left(x_i+\frac{C}{x_i}\right)$$

在进行 $k$ 次迭代后，$x_k$ 的值与真实的零点 $\sqrt{C}$ 足够接近，即可作为答案。

细节

• 为什么选择 $x_0=C$ 作为初始值？

​​  因为 $y=x^2-C$ 有两个零点 $-\sqrt{C}$ 和 $\sqrt{C}$。如果我们取的初始值较小，可能会迭代到 $-\sqrt{C}$ 这个零点，而我们希望找到的是 $\sqrt{C}$ 这个零点。因此选择 $x_0=C$ 作为初始值，每次迭代均有 $x_{i+1}<x_i$，零点 $\sqrt{C}$ 在其左侧，所以我们一定会迭代到这个零点。

• 迭代到何时才算结束？

​​  每一次迭代后，我们都会距离零点更进一步，所以当相邻两次迭代得到的交点非常接近时，我们就可以断定，此时的结果已经足够我们得到答案了。一般来说，可以判断相邻两次迭代的结果的差值是否小于一个极小的非负数 $ϵ$，其中 $ϵ$ 一般可以取 $10^{-6}$ 或 $10^{-7}$。

• 如何通过迭代得到的近似零点得出最终的答案？

​​  由于 $y=f(x)$ 在 $[\sqrt{C},+\infty ]$ 上是凸函数（convex function）且恒大于等于零，那么只要我们选取的初始值 $x_0$ 大于等于 $\sqrt{C}$，每次迭代得到的结果 $x_i$ 都会恒大于等于 $\sqrt{C}$。因此只要 $ϵ$ 选择地足够小，最终的结果 $x_k$ 只会稍稍大于真正的零点 $\sqrt{C}$。在题目给出的 32 位整数范围内，不会出现下面的情况：

真正的零点为 $n-1/2ϵ$，其中 $n$ 是一个正整数，而我们迭代得到的结果为 $n+1/2ϵ$。在对结果保留整数部分后得到 $n$，但正确的结果为 $n-1$。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
        long ans = x;
        while(ans * ans > x)
            ans = (ans + x/ans)/2;
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(\log x)$，此方法是二次收敛的，相较于二分查找更快。
空间复杂度：$O(1)$。

方法四：袖珍计算器算法

思路

​​  「袖珍计算器算法」是一种用指数函数 $\exp$ 和对数函数 $\ln$ 代替平方根函数的方法。我们通过有限的可以使用的数学函数，得到我们想要计算的结果。

我们将 $\sqrt{x}$ 写成幂的形式 $x^{1/2}$，再使用自然对数 $e$ 进行换底，即可得到
$$\sqrt{x}=x^{1/2}=(e^{\ln x}{)}^{1/2}=e^{\frac{1}{2}\ln x}$$

这样我们就可以得到 $\sqrt{x}$ 的值了。

​​  注意： 由于计算机无法存储浮点数的精确值（浮点数的存储方法可以参考 IEEE 754，这里不再赘述），而指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此运算过程中会存在误差。例如当 x = 2147395600x=2147395600 时，$e^{\frac{1}{2}\ln x}$ 的计算结果与正确值 4634046340 相差 $10^{-11}$，这样在对结果取整数部分时，会得到 4633946339 这个错误的结果。

​​  因此在得到结果的整数部分 $\text{ans}$ 后，我们应当找出 $\text{ans}$ 与 $\text{ans}+1$ 中哪一个是真正的答案。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
        if (x == 0) {
    
            return 0;
        }
        int ans = exp(0.5 * log(x));
        return ((long long)(ans + 1) * (ans + 1) <= x ? ans + 1 : ans);
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(1)$，由于内置的 exp 函数与 log 函数一般都很快，我们在这里将其复杂度视为 $O(1)$。
空间复杂度：$O(1)$。