概率论的学习整理4：全概率公式

1全概率的前置概念

弄清楚 全概率，全概率公式之前，需要先搞明白 条件概率和 联合概率的概念。

1.1  联合概率，joint probability

两个事件同时发生的概率

• 也可以称为 相交概率？
• P(AB)
• 两个事件同时发生的概率     
• P(AB)  = P(A ∩ B)         
• P(A ∩ B) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A)     

1.2 条件概率， Conditional probability

在其他事件已经发生之后，此事件发生的概率。           

• 条件概率    
• P(B | A) =P(AB) / P(A) 
• 条件概率等于，两者同时发生概率/ 先发生事件的概率

1.3 全概率

• 一般来说，没有这个概率吧
• 全概率=概率=1个完整的概率而已
• 这个概率一般是  [0,1] ，一般来说都是小于1的

1.4 有人说, 全概率 =1? NO!

• 全概率=1？ NO                
• 全概率只是某一个事件的全部概率，并不是全部概率空间！！！  
• 所以全概率公式，只是用来计算某一个概率的公式，不存在全概率必须=1这么无厘头的问题

2  全概率公式

2.1 定义

• 百度的定义：
• 若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立：
• 就是联合概率之和
• P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn) 
• 也是条件概率*条件发生概率之和 
• P(B) =P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn) 
• 此公式即为全概率公式。

• 如果这个空间划分完备空间的事件，刚好是两个对立事件。
• P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')            
• 其中A A'是一个空间的完整划分            

2.2 重点1： 全概率公式里，几个划分事件必须组成一个完备空间S，并且互斥不相交

全概率公式里

• 几个划分事件必须组成一个完备空间S的全划分（完整划分）
•  既然a1--an是一个空间的完整花费，这些概率之和为1    
• 并且互斥不相交

2.2.1 为什么必须互斥不相交

• 见下图
• 图1，A和A- 不相交
• 图2，A和A- 相交，相交部分是两个正方形的 红 & 黄 生成的橙色部分
• 如果空间划分的事件，A,A-，有重合/相交的部分，那么 P(A ∩B) 和 P(B ∩A')   就会有重合的部分，如图中椭圆里抠出来的竖条橙色的部分，会被计算2次，所以P(B) < P(AB)  + P(BA')   ，因此得到反证。

2.2.2 为什么必须是能组成完备的一个全划分呢（完整划分）？

• 很显然，如上图
• P(B)=P(AB)  + P(BA')   
• 显然，
• P(B)  <>! P(AB)
• P(B)  <>!P(BA')   

2.3 全概率公式    

某一个事件概率 = 这个事件*其他完备事件划分联合概率之和

• 对   P(B)=P(AB)  + P(BA')    
• 错    P(B)=P(A) + P(A')  

某一个事件概率=条件概率*条件发生概率之和 

• 对    P(B)=P(A) *P(B|A) + P(A')*P(B|A')                
• 对    P(B)=P(A) *P(B|A) + P(A')*P(B|A') + P(A'')*P(B|A'')       

下图是网图，可以借助理解