白噪声的详细理解

在数据处理的时候，经常会遇到噪声。一般的噪声是一种功率谱密度为常数的随机信号或随机过程，即白噪声。白噪声的由来是由于白光是由各个频率的单色光混合而成，因为此信号的平均功率谱性质成为“白”，此信号也就是白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，人常常将有限带宽的平整信号视为白噪声，以方便进行数学分析。白噪声具有以下特点：

• 数学期望为0：
  $${\mu }_n=E\{n(t)\}=0$$

# 代码测试：
import numpy as np
noise = np.random.rand(0, 1, 100000)
mean = np.mean(noise)
print(mean)

0.004019681758208514  # 这里之所以不为0，即上文说的，只要带宽足够，就是理想的白噪声。

• 自相关函数为狄拉克函数
  $$r_{nn}=E\{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )$$

# 代码测试
import imageio
import numpy as np

nums = np.arange(10, 100000, 1000)
for num in nums:
	noise = np.random.normal(0, 1, num)
	corr = np.correlate(noise, noise, mode='full')
	plt.plot(corr)
	plt.savefig('figs/fig%d.png'%num)
	plt.close()

with imageio.get_write('mygif.gif', mode='I') as writer:
	for num in nums:
		image = imageio.imread('figs/fig%d/png%num)
		write.append_data(image)

图像结果：
上图是狄拉克函数。

• 功率谱密度是平的

import matplotlib.pyplot as plt
noise = np.random.rand(0, 1, 100000)
plt.psd(noise, 1000)
plt.savefig('image.png', dpi=300)

结果如下：