7/28 高斯消元解线性方程组+高斯消元解异或线性方程组 +求组合数ii

1.高斯消元线性方程组

输入一个包含 nn 个方程 nn 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 mm 个方程 nn 个未知数的线性方程组示例：

输入格式

第一行包含整数 nn。

接下来 nn 行，每行包含 n+1n+1 个实数，表示一个方程的 nn 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 nn 行，其中第 ii 行输出第 ii 个未知数的解，结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围

1≤n≤1001≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100100。

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-8;

int n;
double a[N][N];

int gauss()  // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )  // 找绝对值最大的行
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);  // 将绝对值最大的行换到最顶端
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];  // 将当前行的首位变成1
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )  // 用当前行将下面所有的列消成0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;
    }

    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2; // 无解
        return 1; // 有无穷多组解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];

    return 0; // 有唯一解
}


int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            scanf("%lf", &a[i][j]);

    int t = gauss();
    if (t == 2) puts("No solution");
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            if (fabs(a[i][n]) < eps) a[i][n] = 0;  // 去掉输出 -0.00 的情况
            printf("%.2lf\n", a[i][n]);
        }
    }

    return 0;
}

2.高斯消元解异或线性方程组

与线性方程组类似，每次找一行不为0的，然后异或求解

输入一个包含 nn 个方程 nn 个未知数的异或线性方程组。

方程组中的系数和常数为 00 或 11，每个未知数的取值也为 00 或 11。

求解这个方程组。

异或线性方程组示例如下：

M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]

其中 ^ 表示异或(XORXOR)，M[i][j]M[i][j] 表示第 ii 个式子中 x[j]x[j] 的系数，B[i]B[i] 是第 ii 个方程右端的常数，取值均为 00 或 11。

输入格式

第一行包含整数 nn。

接下来 nn 行，每行包含 n+1n+1 个整数 00 或 11，表示一个方程的 nn 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 nn 行，其中第 ii 行输出第 ii 个未知数的解。

如果给定线性方程组存在多组解，则输出 Multiple sets of solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围

1≤n≤1001≤n≤100

输入样例：

3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1

输出样例：

1
0
0

 

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int gauss()
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (a[i][c])
                t = i;

        if (!a[t][c]) continue;

        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[r][i], a[t][i]);
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
            if (a[i][c])
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] ^= a[r][j];
        r ++ ;
    }
    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (a[i][n])
                return 2;
        return 1;
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] ^= a[i][j] * a[j][n];
    return 0;
}
int main()
{
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            cin >> a[i][j];
    int t = gauss();
    if (t == 0)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << a[i][n] << endl;
    }
    else if (t == 1) puts("Multiple sets of solutions");
    else puts("No solution");
    return 0;
}

3.求组合数 （求阶乘和阶乘的逆元）

给定 nn 组询问，每组询问给定两个整数 a，ba，b，请你输出 Cbamod(109+7)Cabmod(109+7) 的值。

输入格式

第一行包含整数 nn。

接下来 nn 行，每行包含一组 aa 和 bb。

输出格式

共 nn 行，每行输出一个询问的解。

数据范围

1≤n≤100001≤n≤10000,
1≤b≤a≤1051≤b≤a≤105

输入样例：

3
3 1
5 3
2 2

输出样例：

3
10
1

 

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, mod = 1e9 + 7;


int fact[N], infact[N];


int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}


int main()
{
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++ )
    {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
    }


    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", (LL)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod);
    }

    return 0;
}