n皇后问题（回溯法）

1. 问题

  在有 n*n 方格的棋盘中放置 n 个皇后，使得任何两个皇后之间不能相互攻击，即在同一行同一列不能有两个以上的皇后，在与主对角线、副对角线的平行线上也不能有两个以上的皇后，试给出所有的放置方法。

2. 分析

  n 皇后问题是回溯法中的经典问题

  我们可以选择逐行放皇后，先给第一行放皇后，很显然我们会把它放在第一列。接下来，给第二行放皇后，那么第二行的皇后能放在哪些位置呢？这时候需要一个判断函数 judge() 来判断第二列的皇后能放在哪里。

  判断的条件就是：该行的皇后与前面已放置好的皇后的列数不能相同，并且还不能在同一主副对角线上。这里使用了数组 pos[] 来记录列数，即 row 表示行数， pos[row] 表示当前该行的列数。同列好判断，即i循环列数，只要不要 $pos[i]==pos[row]$ 即可；对角线判断可以使用绝对值，如果行数相减的绝对值等于列数相减的绝对值 $abs(row-i)==abs(pos[row]-pos[i])$，那么两个皇后就在同一对角线上，不满足。

  如果第二行找到放皇后的某一列，那么就进行第三行的摆放…

  在放置皇后过程中，如果该行的所有列均不可放皇后，那么便回溯到上一行，重新选择放置皇后的位置，再进行下一行的操作。

3. 代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;

int n, sum = 0; //皇后数量n 
int pos[20]; //记录每个皇后应该放置的列数

//判断该位置能否放皇后 
bool judge(int row)
{
    
	for(int i = 1;i < row;i++){
     //同列或同对角线上不能放皇后 
		if((pos[i]==pos[row]) || (abs(row-i)==abs(pos[row]-pos[i])))
			return false;
	}
	//cout<<"行："<<row<<",列：" <<pos[row]<<endl; //用于调试 
	return true;
}

//回溯法 
void backtrack(int row)
{
    
	if(row > n) //说明行数超出棋盘大小，已排好一次 
		sum++;
	else{
    
		for(int i = 1;i <= n;i++){
     
			pos[row] = i;  //目前是第row行第i列 
			if(judge(row)){
     //能放置皇后则进入下一行 
				backtrack(row+1);
			}
		}
	}
}

int main()
{
    
	cout<<"输入皇后的数量 n = ";
	cin>>n;
	backtrack(1);
	cout<<n<<"皇后有"<<sum<<"种解法！"<<endl;
	return 0; 
}

4. 效果

4皇后

8皇后