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三角波与三角波卷积

2022-06-13 00:35:00 【卓晴】

信号与系统卷积三角脉冲信号

简介：根据信号与系统答疑过程中，学生对于三角形信号卷积结果的疑惑，给出了相应的数值、理论、以及频谱分析的解答。特别是后面频谱分析部分也是由另外参加答疑的同学提出的。之所以这个题目会产生疑问，主要原因来自于卷积计算“图解法”所带来的误导。图解方法只能帮助确定卷积的阶段和积分上下限，求解卷积结果还是需要根据实际信号函数进行计算。

关键词：信号与系统，卷积，三角脉冲信号

§01三角波卷积

一、答疑碰到的问题

这两天信号与系统期末考试答疑中，多次碰到学生询问起一个课堂练习的习题。也就是为什么两个等腰三角形的卷积是答案（C）：一个类似于升余弦的光滑曲线，而不是答案（B）一个尖顶的脉冲。此时才意识到这个问题的确有和直觉相违背的地方。

▲ 图1.1.1 三角波与自身的卷积波形：选择题

▲ 图1.1.1 三角波与自身的卷积波形：选择题

通过分析，造成判断错误的来源，实际上是误用了求解卷积过程中的“图解法”。图解方法通过把卷积的数学运算转换成信号波形的变化，帮助确定卷积阶段和积分的上下限。但往往也会对卷积结果产生误导，即部分同学会将两个图像重叠对应的图像面积当做求解的结果，但这种情况只能发生在一个信号是常量的情况。

▲ 图1.1.2 对于简单信号所使用的图解方法

▲ 图1.1.2 对于简单信号所使用的图解方法

二、问题分析

这两天答疑过程中，学生也给出了对于这个问题很好的解释。下面给出相应的总结：

1、数值求解

下面是通过数值求解反映的一些等腰三角形与其自身卷积的结果，结果说明了两个等腰三角学卷积的确是一个一阶导数光滑的曲线。

▲ 图1 三角波与三角波相互卷积

▲ 图1 三角波与三角波相互卷积

2、理论分析

对于这类有限长度的简单信号，在求解它们之间相互卷积的时候，同时使用“图解法”帮助确定积分的区间。由于两个三角波形自身都具有两个变化阶段一个是上升阶段，一个是下降阶段。它们的长度相同，所以通过简单分析可以知道这两个三角波卷积过程，它们重合情况可以分成四个阶段，如下图所示。当 $t$ 不在这四个阶段的时候，两个三角形不重合，卷积结果为 0。

▲ 图1.2.2 卷积过程中四个不同的重叠阶段

▲ 图1.2.2 卷积过程中四个不同的重叠阶段

由于参与卷积的信号左右对称，所以只需要对于第一、第二阶段进行求解；然后将结果偶对称得到信号在 $t > 0$ 之后的结果。

（1）第一个阶段

在 $\in \left( { - 2,1} \right)$ 时，两个三角形的重叠范围是 $\left[ { - 1,t + 1} \right]$ 。此时对应的卷积运算为 $f\left( t \right) * f\left( t \right) = \int_{ - 1}^{t + 1} { - \left( {\tau - t - 1} \right) \cdot \left( {\tau + 1} \right)d\tau }$ $\int_{ - 1}^{t + 1} {\left( { - \tau ^2 + t \cdot \tau + t + 1} \right)d\tau }$ $\left. { - {1 \over 3}\tau ^3 } \right|_{ - 1}^{t + 1} + \left. { {t \over 2}\tau ^2 } \right|_{ - 1}^{t + 1} + \left( {t + 1} \right) \cdot \left( {t + 2} \right)$ $\over 3}\left[ {\left( {t + 1} \right)^3 - 1} \right] + {t \over 2}\left[ {\left( {t + 1} \right)^2 - 1} \right] + \left( {t + 1} \right) \cdot \left( {t + 2} \right)$ ${t^3 } \over 6} + t^2 + 2t + {4 \over 3}$

这个求解化简过于繁琐，使用Python中的符号求积分软件包可以帮助进行求解

t,T = symbols('t,T')
result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))

（2）第二阶段

在 $\in \left( { - 1,0} \right)$ ，参与卷积的信号重叠方式为如下图所示，重叠区域为 $\left( { - 1,t + 1} \right)$ 。

▲ 图1.2.3 在第二阶段两个三角形重叠以及求解积分过程

▲ 图1.2.3 在第二阶段两个三角形重叠以及求解积分过程

按照信号不同的分段，求解积分需要分成三个区域，它们分别是 $\left( { - 1,t} \right),\left( {t,0} \right),\left( {0,t + 1} \right)$ 。

在区域 $\left( { - 1,t} \right)$ 中积分表达式为 $\int_{ - 1}^t {\left( {\tau - t + 1} \right) \cdot \left( {\tau + 1} \right)d\tau } = { {t^3 } \over 6} - {t \over 2} - {1 \over 3}$

在区域 $\left( {t,0} \right)$ 中的积分表达式为 $\int_t^0 { - \left( {\tau - t - 1} \right) \cdot \left( {\tau + 1} \right)d\tau = - { {t^3 } \over 6} - t^2 - t}$

在区域 $\left( {0,t + 1} \right)$ 的积分表达式为 $\int_0^{t + 1} { - \left( {\tau - t - 1} \right) \cdot \left( { - \tau + 1} \right)d\tau } = { {\left( { - t + 2} \right)\left( {t + 1} \right)^2 } \over 6}$

将上面三个积分结果合并在一起，可以得到在此区间内卷积的结果 $f\left( t \right) * f\left( t \right) = - { {t^3 } \over 2} - t^2 + {2 \over 3}$

t,T = symbols('t,T')

result = integrate(-(T-t-1)*(-T+1),(T,0,t+1)) +\
         integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,t,0)) +\
         integrate((T-t+1)*(T+1),(T,-1,t))

result = simplify(result)

（3）卷积完整解

合并前面求解的第一、第二阶段的公式，将它们进行反褶之后，便可以得到第三、第四阶段的公式。最终三角形卷积的结果为：

（4）数值验证

下面使用Python对上述公式进行绘制，查看卷积结果的信号波形。

def w(t,t1,t2):
    return heaviside(t-t1, 0.5) - heaviside(t-t2, 0.5)

def f1(t):
    return t**3/6 + t**2 + 2*t + 4/3

def f2(t):
    return -t**3/2 - t**2 + 2/3

def f(t):
    return f1(t) * w(t, -2, -1) +\
           f2(t) * w(t, -1, 0) +\
           f2(-t) * w(t, 0, 1) +\
           f1(-t) * w(t, 1, 2)

t = linspace(-2, 2, 500)
fdim = f(t)

plt.plot(t, fdim)

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

▲ 图1.2.4 绘制出的结果

▲ 图1.2.4 绘制出的结果

3、傅里叶变换

可以利用傅里叶变换卷积定理，分析两个三角脉冲信号的卷积。对于高度为 1，宽度为 2 的对称等腰三角型，对应的频谱为 $F\left( \omega \right) = Sa^2 \left( { {\omega \over 2}} \right) = { {\sin ^2 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\left( { {\omega \over 2}} \right)^2 }} = { {4\sin ^2 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\omega ^2 }}$ 那么它们卷积对应的傅里叶变换为 $F_{12} \left( \omega \right) = Sa^4 \left( { {\omega \over 2}} \right) = { {\sin ^4 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\left( { {\omega \over 2}} \right)^4 }} = { {16\sin ^4 \left( { {\omega \over 2}} \right)} \over {\omega ^4 }}$

当然，直接从上面结果进行傅里叶反变换求解卷积时域表达式也比较麻烦，不过它可以告诉我们，卷积结果的频谱幅度衰减的规律应该是 $1/\omega ^4$ 。再由信号波形的光滑性与频谱衰减之间的关系可知，卷积结果应该是满足二阶导数连续。由此也可以帮助判断在选择题中，只有答案（C）能够满足二阶导数连续的要求，其它三个信号波形对应的一阶导数都不连续。