信息学奥赛一本通 1362：家庭问题(family)

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ybt 1362：家庭问题(family)

【题目考点】

1. 图论 图的遍历

3. 并查集

【解题思路】

本题按照原意直接理解当然也能做。如果用图论这一数据结构来辅助理解，结合图论中的定义，可以理解到这个问题的本质。
每个人是一个顶点，任何人之间的关系是边，所有的人和关系构成一个图，一个家庭就是一个连通分量。
求家庭个数就是求连通分量的个数，最大家庭人数就是所有连通分量中顶点数量最多的连通分量的顶点数。
可以在图上用搜索（深搜/广搜）来确定连通分量的数量。也可以使用并查集来完成。
（连通块本质上也是图上的连通分量，该题做法和求连通块问题类似）

解法1：搜索

从每个顶点尝试开始搜索，如果成功开始进行一次搜索，即可标记整个连通分量。成功开始搜索的次数即为连通分量的个数。搜索过程中对这一趟搜索到的顶点做计数，能达到在最大计数即为顶点数量最多的连通分量的顶点数。

解法2：并查集

将有关系的人加入一个集合。如果i与j有关系，那么把i所在的集合与j所在的集合合并，合并后的集合的元素个数为原来两集合元素个数的加和。最后统计集合数量，以及查找得到元素个数最大的集合的元素个数。

【题解代码】

解法1：搜索

• 深搜+邻接表

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
vector<int> edge[N];//邻接表 
int n, m, num, mx, ct;//num:连通分量数 ct:当前连通分量中的顶点数 mx:最大顶点数 
bool vis[N];//vis[i]:顶点i是否已访问过 
void init()//生成图 
{
    
	int f, t;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
    
		cin >> f >> t;
		edge[f].push_back(t);
		edge[t].push_back(f);
	}
}
void dfs(int u)
{
    
	for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i)
	{
    
		int v = edge[u][i];
		if(vis[v] == false)
		{
    
			ct++;
			vis[v] = true;
			dfs(v);
		}
	}
}
int main()
{
    
	init();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)	
	{
    
		if(vis[i] == false)
		{
    
			num++;
			ct = 1;
			vis[i] = true;
			dfs(i);
			mx = max(mx, ct);//更新最大顶点数 
		}
	}
	cout << num << ' ' << mx;
	return 0;
}

• 广搜+邻接矩阵

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
bool edge[N][N];//邻接矩阵 
int n, m, num, mx, ct;//num:连通分量数 ct:当前连通分量中的顶点数 mx:最大顶点数 
bool vis[N];//vis[i]:顶点i是否已访问过 
void init()
{
    
	int f, t;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
    
		cin >> f >> t;
		edge[f][t] = edge[t][f] = true;
	}
}
void bfs(int v)//从顶点v开始广搜 
{
    
	queue<int> que;
	vis[v] = true;
	ct++;
	que.push(v);
	while(que.empty() == false)
	{
    
	    int u = que.front();
	    que.pop();
	    for(int i = 1; i <= n; ++i)
	    {
    
	        if(edge[u][i] && vis[i] == false)
	        {
    
	           ct++;
	           vis[i] = true;
	           que.push(i);
	       }
        }
    }
}
int main()
{
    
	init();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)	
	{
    
		if(vis[i] == false)
		{
    
			num++;
			ct = 0;
			bfs(i);
			mx = max(mx, ct);//更新最大顶点数 
		}
	}
	cout << num << ' ' << mx;
	return 0;
}

3. 并查集

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int fa[N], n, m;
int ct[N];//ct[i]:以i为根结点的树的结点数量 
void init(int n)
{
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    
        fa[i] = i;
        ct[i] = 1;
    }
}
int find(int x)
{
    
    if(x == fa[x])
        return x;
    else
        return fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int i, int j)//合并i结点和j结点所在的集合
{
    
    int x = find(i), y = find(j);
    fa[x] = y;//x的父结点设为y 
    if(x != y)
        ct[y] += ct[x];//以y为根节点的集合的顶点数ct[y]增加ct[x] 
}
int main()
{
    
    int f, t, num = 0, mx = 0;
    cin >> n >> m;
    init(n);
    while(m--)
    {
    
        cin >> f >> t;
        merge(f, t);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    
        if(find(i) == i)//i是根结点
		{
     
            num++;//根结点的数量即为集合的数量 
        	mx = max(ct[i], mx);//更新集合元素数量的最大值 
        }
    }
    cout << num << ' ' << mx;
    return 0;
}