最小割和对偶图（未完成）

算法思想

最小割

最小割与最大流在大部分情况下是等价的，一般来说，求解最小割就是求解最大流，但是对于许多模型来说（例如网格图），由于建图的点和边过多，在建图的基础上再采用最大流算法，会加大时间复杂度和空间复杂度，这个时候如果利用平面图转对偶图的性质，那么原图的空间复杂度惠减少，在此基础上选择图论中更恰当的算法能够减小时间复杂度

其余具体概念和连续可以参考另一篇最大流最小割

对偶图

训练

LuoguP4001

题目大意：略

思路：本题可以用最小割或者对偶图最短路来处理

如果把左上角视为起点，右下角视为重点，那么原题目的封锁就可以认为是在图上找一个如图所示的最小割（虚线经过的边），因此直接建图然后跑最大流即可，但是需要优化后的DInic算法
如果选择对偶图+最短路，需要将图的最外平面分成两个，然后分别建边，左下角为起点，右上角为终点，跑最短路即可

代码（最大流最小割）

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long//不要开long long，会超内存，要么就超时
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+5;
using namespace std;
int n,m,cnt,head[maxn],s,t,cur[maxn],d[maxn];
bool vis[maxn];
struct node {
    
    int next,to,cap,flow;
} e[maxn<<4];
void Add(int from,int to,int cap) {
    
    e[cnt].cap=cap;
    e[cnt].flow=0;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].next=head[from];
    head[from]=cnt++;
}
int getHash(int x,int y) {
    
    return (x-1)*m+y;
}
bool BFS(int s,int t) {
    //分层
    memset(d,0,sizeof(d));
    for(int i=1; i<=getHash(n,m); i++)//复制每个点的head，一定一定要注意节点的个数
        cur[i]=head[i];
    queue<int>q;
    q.push(s);
    d[s]=1;
    while(!q.empty()) {
    
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {
    
            int v=e[i].to;
            if(!d[v]&&e[i].cap>e[i].flow) {
    //如果可以增流
                d[v]=d[u]+1;
                q.push(v);
                if(v==t)return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int DFS(int u,int flow,int t) {
    
    if(u==t)return flow;
    int res=flow;//res存储当前节点的可增流值
    for(int i=cur[u]; ~i&&res; i=e[i].next) {
    //遍历满足条件的邻边并增流
        cur[u]=i;//当前弧优化
        int v=e[i].to;
        if(d[v]==d[u]+1&&e[i].cap>e[i].flow) {
    
            int k=DFS(v,min(res,e[i].cap-e[i].flow),t);//获得最小的回溯流
            if(!k) {
    
                d[v]=0;
                continue;
            }
            e[i].flow+=k;//获得最小的回溯流后增流
            e[i^1].flow-=k;
            res-=k;//可增流值减少，因为已经有邻边增流
        }
    }
    return flow-res;//返回实际的总增流值
}
int Dinic(int s,int t) {
    
    int ans=0;//存储最大流
    while(BFS(s,t))ans+=DFS(s,inf,t);
    return ans;
}
signed main() {
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >>n>>m;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m-1; j++) {
    
            int w;
            cin >>w;
            Add(getHash(i,j),getHash(i,j+1),w);//加双边，每条边两边都能走
            Add(getHash(i,j+1),getHash(i,j),0);
            Add(getHash(i,j+1),getHash(i,j),w);
            Add(getHash(i,j),getHash(i,j+1),0);
        }
    for(int i=1; i<n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++) {
    
            int w;
            cin >>w;
            Add(getHash(i,j),getHash(i+1,j),w);
            Add(getHash(i+1,j),getHash(i,j),0);
            Add(getHash(i+1,j),getHash(i,j),w);
            Add(getHash(i,j),getHash(i+1,j),0);
        }
    for(int i=1; i<n; i++)
        for(int j=1; j<m; j++) {
    
            int w;
            cin >>w;
            Add(getHash(i,j),getHash(i+1,j+1),w);
            Add(getHash(i+1,j+1),getHash(i,j),0);
            Add(getHash(i+1,j+1),getHash(i,j),w);
            Add(getHash(i,j),getHash(i+1,j+1),0);
        }
    s=1,t=getHash(n,m);
    cout <<Dinic(s,t)<<endl;//最小割等价求最大流
    return 0;
}

代码（对偶图+最短路）

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int>pr;
const int maxn=1e6+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,cnt,head[maxn<<4],s,t,d[maxn<<4];
bool vis[maxn<<4];
struct node {
    
    int next,to,w;
} e[maxn<<4];
void Add(int from,int to,int w) {
    
    e[++cnt].next=head[from];
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].w=w;
    head[from]=cnt;
}
void Dijkstra() {
    
    priority_queue<pr,vector<pr>,greater<pr>>q;
    d[s]=0;
    q.push({
    d[s],s});
    while(!q.empty()) {
    
        auto u=q.top();
        q.pop();
        int p=u.second;
        if(vis[p])continue;
        vis[p]=1;
        for(int i=head[p]; ~i; i=e[i].next) {
    
            int v=e[i].to;
            if(d[v]>d[p]+e[i].w)
                q.push({
    d[v]=d[p]+e[i].w,v});
        }
    }
}
signed main() {
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >>n>>m;
    t=n*m*2+1,s=0;
    for(int i=s; i<=t; i++)d[i]=inf;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1; i<m; i++) {
    
        int w;
        cin >>w;
        Add(i,t,w);//第一行的所有横边与t相连
        Add(t,i,w);
    }
    for(int i=2; i<n; i++)
        for(int j=1; j<m; j++) {
    
            int w;
            cin >>w;
            int u=(i-1)*(m-1)*2+j,v=(i-1)*(m-1)*2+j-m+1;
            //多加了一个(i-1)*(m-1)，相当于偏移量
            Add(u,v,w);
            Add(v,u,w);
        }
    for(int i=1; i<m; i++) {
    
        int w;
        cin >>w;
        int v=(n-2)*(m-1)*2+m+i-1;
        //相当于i=n-1
        Add(s,v,w),Add(v,s,w);
    }
    for(int i=1; i<n; i++) {
    
        int w;
        cin >>w;
        Add((m-1)*2*(i-1)+m,s,w);
        Add(s,(m-1)*2*(i-1)+m,w);
        for(int j=2; j<m; j++) {
    
            cin >>w;
            int u=(m-1)*2*(i-1)+m+j-1,v=(m-1)*2*(i-1)+j-1;
            Add(u,v,w);
            Add(v,u,w);
        }
        cin >>w;
        Add((m-1)*2*(i-1)+m-1,t,w);
        Add(t,(m-1)*2*(i-1)+m-1,w);
    }
    for(int i=1; i<n; i++)
        for(int j=1; j<m; j++) {
    
            int w;
            cin >>w;
            int u=(m-1)*(i-1)*2+j,v=(m-1)*(i-1)*2+j+m-1;
            Add(u,v,w),Add(v,u,w);
        }
    Dijkstra();
    cout <<d[t]<<endl;
    return 0;
}

LuoguP2046

题目大意：略

思路：

代码

LuoguP7916

题目大意：略

思路：

代码

LuoguP1514

题目大意：

思路：

代码

2020牛客多校第二场 I

题目大意：

思路：

代码

总结

参考文献

1. 平面图最小割与对偶图最短路
2. 平面图上最小割=对偶图最短路
3. 图论 —— 网络流 —— 最小割 —— 平面图与对偶图
4. 《两极相通——浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》
5. P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子 题解