阵列信号处理仿真之四——Z变换分析阵列多项式

Z变换

   对于线性等间距阵列,波束方向图可以用一个阵列多项式来表示。波束方向图在$\psi$空间可以写成$$B_{\psi }(\psi )=e^{-j(\frac{N-1}{2})\psi }(\sum _{n=0}^{N-1}{\omega }_n{e}^{-jn\psi })$$
   我们定义$$z=e^{j\psi }$$
   则可以写出$$B_z(z)=\sum _{n=0}^{N-1}{\omega }_n{z}^{-n}$$
   这个表达式和z变换相似，把实变量$\psi$映射到一个具有单位幅度的复变量z,变量$\psi$是复变量z的相位。波束方向图可以写成$$B_{\psi }(\psi )=[z^{-\frac{N-1}{2}}{B}_z(z){]}_{z=e^{j\psi }}$$

实数阵列权值

   对于对称加权，有$$\omega (n)=\omega (N-1-n)$$
   z变换为$$B_z(z)=\sum _{n=0}^{N-1}\omega (n)z^{-n}$$
   可以定义$$M=\frac{N-1}{2}$$
   并写出$$Bz(z)=z^{-M}\{\omega (M)+\omega (M-1)[z+z^{-1}]+\omega (M-2)[z^2+z^{-2}]+\cdots +\omega (0)[z^M+z^{-M}]\}$$
   根据系数的对称性$$B_z(z^{-1})=z^{2M}{B}_z(z)$$
这里不再继续往后推导，经过分析,最终我们可以推出，多项式零点四个为一组，互为共轭和互为倒数的零点对，下面我们将分析一些实际的案例

案例

均匀加权阵列

$$B_{u}i(u)=\frac{1}{N}\frac{sin(\frac{\pi Nd}{\lambda }u)}{sin(\frac{\pi d}{\lambda }u)},-1\le u\le 1$$
方向图的阵列出现在$B_u(u)$的分子为0而分母不为0时$$sin(\frac{\pi Nd}{\lambda }u)=0$$
零点的位置为$$u_n=\pm \frac{n}{N}\cdot \frac{\lambda }{d},n=1,2,\cdots ,\frac{N-1}{2}$$

我们记得第一零点的位置决定了主波束的宽度.所以，我们可以研究这样的技术，即约束第一个零点在一个特定点上，并调整其他零点的位置以得到一个理想的方向图形状。很多经常使用的方向图都是以这种方式开发出来的。

matlab代码

clear all;
close all;

N = 11; 
theta=2*pi*[0:0.01:1];

w = 1/N*ones(N,1);
z = roots(w);
figure
plot(real(z),imag(z),'o');
hold on;
plot(cos(theta),sin(theta),'-'); 
plot(1.5*[-1,1],0*[1,1],'-')
plot(0*[1,1],1.5*[-1,1],'-')
hold off;
set(gca,'YTick',[-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5])
axis square
grid on;
xlabel('{\it x}','Fontsize',14)
ylabel('\it y','Fontsize',14)

cosine,cosine平方

这两个零点图对应的波束方向图上篇文章中已经讲过这里不再多提。

matlab代码

clear all
close all

N=11; 
n=conj(-(N-1)/2:(N-1)/2)';

w2=cos(pi*n/N);
w3=w2.*w2;
z2=roots(w2);
z3=roots(w3);

% ---------------- Zero Plot.
figure
%%%%%%%%%%%% plot 1
subplot(1,2,1);
plot(real(z2),imag(z2),'o');
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2])
axis('square')
grid on;
title('Cosine','Fontsize',14);
xlabel('Real','Fontsize',14)
ylabel('Imaginary','Fontsize',14)
theta=2*pi*[0:0.01:1];
hold on
plot(cos(theta),sin(theta),'--'); 
plot([-0.9 -0.65],[0.03 0.17])
text(-0.6,0.2,'2 zeros','Fontsize',12)
hold off

%%%%%%%%%%% plot 2
subplot(1,2,2);
plot(real(z3),imag(z3),'o');
grid on;
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2])
axis('square')
title('Cosine-squared','Fontsize',14);
xlabel('Real','Fontsize',14)
ylabel('Imaginary','Fontsize',14)
theta=2*pi*[0:0.01:1];
hold on
plot(cos(theta),sin(theta),'--'); 
text(-1.2,-1.7,(['Another zero is at (',num2str(real(z3(1))),', ',num2str(imag(z3(1))),')']),'Fontsize',12)
%text(1.6,-0.5,(['another zero at :']));
%text(1.7,-1,(['( ',num2str(real(z3(1))),' , ',num2str(imag(z3(1))),' )']))
hold off

Hamming,Blackman-Harris

Hamming窗权值$$\omega (n)=0.54+0.46cos(\frac{2\pi \tilde{n}}{N})$$
Blackman-Harris权值$$\omega (n)=0.42+0.5cos(\frac{2\pi \tilde{n}}{N})+0.08cos(\frac{4\pi \tilde{n}}{N})$$

matlab代码

N=11; 
n=conj(-(N-1)/2:(N-1)/2)';

w2=0.42+0.5*cos(2*pi*n/N)+0.08*cos(4*pi*n/N);
w3=0.54+0.46*cos(2*pi*n/N);
z2=roots(w2);
z3=roots(w3);

% ---------------- Zero Plot.
figure
%%%%%%%%%%%%	plot 1
subplot(1,2,1);
plot(real(z2),imag(z2),'o');
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2])
axis('square')
grid on;
title('blackman','Fontsize',14);
xlabel('Real','Fontsize',14)
ylabel('Imaginary','Fontsize',14)
theta=2*pi*[0:0.01:1];
hold on
plot(cos(theta),sin(theta),'--'); 
plot([-0.9 -0.65],[0.03 0.17])
text(-0.6,0.2,'2 zeros','Fontsize',12)
hold off

%%%%%%%%%%%	plot 2
subplot(1,2,2);
plot(real(z3),imag(z3),'o');
grid on;
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2])
axis('square')
title('Hamming','Fontsize',14);
xlabel('Real','Fontsize',14)
ylabel('Imaginary','Fontsize',14)
theta=2*pi*[0:0.01:1];
hold on
plot(cos(theta),sin(theta),'--'); 
text(-1.2,-1.7,(['Another zero is at (',num2str(real(z3(1))),', ',num2str(imag(z3(1))),')']),'Fontsize',12)
%text(1.6,-0.5,(['another zero at :']));
%text(1.7,-1,(['( ',num2str(real(z3(1))),' , ',num2str(imag(z3(1))),' )']))
hold off