Leetcode（633）——平方数之和

题目

给定一个非负整数 c ，你要判断是否存在两个整数 a 和 b，使得 $a^2+b^2=c$。

示例 1：

输入：c = 5
输出：true
解释：1 * 1 + 2 * 2 = 5

示例 2：

输入：c = 3
输出：false

提示：

• $0$ <= c <= $2^{31-1}$

题解

​​  对于给定的非负整数 $c$，需要判断是否存在整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2+b^2=c$。可以枚举 $a$ 和 $b$ 所有可能的情况，时间复杂度为 $O(c^2)$。但是暴力枚举有一些情况是没有必要的。例如：当 $c=20$ 时，当 $a=1$ 的时候，枚举 $b$ 的时候，只需要枚举到 $b=5$ 就可以结束了，这是因为 $1^2+5^2=25>20$。当 $b>5$ 时，一定有 $1^2+b^2>20$。

​​  注意到这一点，可以使用 $\text{sqrt}$ 函数或者双指针降低时间复杂度。

方法一：使用标准库函数 $\text{sqrt}$

思路

​​  在枚举 $a$ 的同时，使用 $\text{sqrt}$ 函数找出 $b$。注意：本题 $c$ 的取值范围在 $[0,2^{31}-1]$，因此在计算的过程中可能会发生 $\text{int}$ 型溢出的情况，需要使用 $\text{long}$ 型避免溢出。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {
    
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
    
        for (long a = 0; a * a <= c; a++) {
    
            double b = sqrt(c - a * a);
            if (b == (int)b) {
    
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(\sqrt{c})$。枚举 $a$ 的时间复杂度为 $O(\sqrt{c})$，对于每个 $a$ 的值，可在 $O(1)$ 的时间内寻找 $b$
空间复杂度：$O(1)$

方法二：反向双指针

思路

​​  不失一般性，可以假设 $i\le max$。初始时 $i=0$，$max=\sqrt{c}$，进行如下操作：

• 如果 $ma{x}^2+i^2=c$，我们找到了题目要求的一个解，返回 $\text{true}$；
• 如果 $ma{x}^2+i^2<c$，此时需要将 $i$ 的值加 $1$，继续查找；
• 如果 $ma{x}^2+i^2>c$，此时需要将 $max$ 的值减 $1$，继续查找。
• 当 $max=i$ 时，结束查找，此时如果仍然没有找到整数 $max$ 和 $i$ 满足 $ma{x}^2+i^2=c$，则说明不存在题目要求的解，返回 $\text{false}$。

​​  至于反向双指针遍历已排序好的序列的正确性（即如何确保不会漏掉其中的正确答案）： 可以参考这里。
​​  所以用反向双指针要考虑两个问题：每次移动指针排除掉了哪些情况？这些情况中是否可能包含正确答案？

代码实现

我的：

class Solution {
    
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
    
        // 找出平方根小于或等于 c 的最大整数 max
        int max = sqrt(c), i = 0;
        while(i <= max){
    
            // 不用 max*max + i*i 和 c 比较，因为可能会产生类型溢出
            if(c - max*max == i*i) return true;
            c - max*max < i*i? max--: i++;
        }
        return false;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(\sqrt{c})$。最坏情况下 $max$ 和 $i$ 一共枚举了 $0$ 到 $\sqrt{c}$ 里的所有整数。
空间复杂度：$O(1)$

方法三：数学

思路

​​  费马平方和定理告诉我们：

一个非负整数 $c$ 如果能够表示为两个整数的平方和，当且仅当 $c$ 的所有形如 $4k+3$ 的质因子的幂均为偶数。

证明请见 这里。

​​  因此我们需要对 $c$ 进行质因数分解，再判断所有形如 $4k+3$ 的质因子的幂是否均为偶数即可。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {
    
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
    
        for (int base = 2; base * base <= c; base++) {
    
            // 如果不是因子，枚举下一个
            if (c % base != 0) {
    
                continue;
            }

            // 计算 base 的幂
            int exp = 0;
            while (c % base == 0) {
    
                c /= base;
                exp++;
            }

            // 根据 Sum of two squares theorem 验证
            if (base % 4 == 3 && exp % 2 != 0) {
    
                return false;
            }
        }

        // 例如 11 这样的用例，由于上面的 for 循环里 base * base <= c ，base == 11 的时候不会进入循环体
        // 因此在退出循环以后需要再做一次判断
        return c % 4 != 3;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(\sqrt{c})$
空间复杂度：$O(1)$