矩阵的行列式的计算及其源码

维基百科的定义：
行列式(Determinant)，记作$det(\mathbf{A})$或者$|\mathbf{A}|$，它是矩阵上计算得到的标量。定义如下：
$$det(\mathbf{A})=\sum _{\sigma \in {\mathbf{S}}_n}sgn(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$$

其中，${\mathbf{S}}_n$是集合$\left\{\begin{array}{c}1,2,3,...,n\end{array}\right\}$上置换的全体，即集合$\left\{\begin{array}{c}1,2,3,...,n\end{array}\right\}$到自身上的一一映射(双射)的全体；${\sum }_{\sigma \in {\mathbf{S}}_n}$表示对${\mathbf{S}}_n$全部元素的求和，即如果每个$\sigma \in {\mathbf{S}}_n$出现一次，$sgn(\sigma ){\prod }_{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$就在加法中出现一次；对每一个满足$1\le i,j\le n$的数据对$(i,j)$，$a_{i,j}$都是矩阵$\mathbf{A}$的第$i$行，第$j$列的元素。
$sgn(\sigma )$是$\sigma \in {\mathbf{S}}_n$的符号差，具体说，如果满足$1\le i,j\le n$但是$\sigma (i)>\sigma (j)$的有序数对$(i,j)$称为$\sigma$的一个逆序。一个序列有多个逆序，它的数量，可以定义为$N_{\sigma }$。这个符号差满足下面公式:
$$sgn(\sigma )=1;(N_{\sigma }为偶数)sgn(\sigma )=-1;(N_{\sigma }为奇数)$$

在日常的空间几何的计算中，遇到的都是$3\times 3$的矩阵，它可以表示为：

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

通过定义，可以简化为如下：
$$det(\mathbf{A})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$$

代码后续更新补上。

参考资料：
https://zh.m.wikipedia.org/zh-sg/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F