MCS：多元随机变量——离散随机变量

Multivariate Discrete Arbitrary

有$k$个离散的随机变量：$(x_1,...,x_k)$，联合概率分布为：$P(x_1,...,x_k)$，$k$个变量所有可能值的概率和为:1。
$$\sum _{x_1\sim x_k}P(x_1...x_k)=1.0$$

边际概率，$k$个变量中的一个，记为：$x_j$

$$P(x_j...)=\sum _{al{l}_{x}bu{t}_{x_j}}P(x_1,x_2,...,x_k)$$

边际期望：

$$E(x_j...)=\sum _{x_j}{x}_{j}P(x_j...)$$

边际方差：

$$V(x_j...)=E(x_j^2...)-E(x_j...{)}^2$$

$$E(x_j^2...)=\sum _{x_j}{x}_j^{2}P(x_j...)$$

生成随机变量

生成$k$个离散变量的随机变量：$(x_1,x_2,...,x_k)$

1. 得到$x_1$的边际概率和累积分布： $P(x_1...)、F(x_1...)$
   • 生成一个随机连续均匀变量：$u\sim U(0,1)$
   • 找到大于随机变量$u$的$F(x_1...)$对应$x_1$的最小值，记为：$x_{10}$
2. 得到$x_2$边际条件概率和累积分布：$P(x_2|x_{10}...)、F(x_2|x_{10}...)$
   • 生成一个随机连续均匀变量：$u\sim U(0,1)$
   • 找到大于随机变量$u$的$F(x_2|x_{10}...)$对应$x_2$的最小值，记为：$x_{20}$
3. 得到$x_3$边际条件概率和累积分布：$P(x_3|x_{10}{x}_{20}...)、F(x_3|x_{10}{x}_{20}...)$
   • 生成一个随机连续均匀变量：$u\sim U(0,1)$
   • 找到大于随机变量$u$的$F(x_3|x_{10}{x}_{2}0...)$对应$x_3$的最小值，记为：$x_{30}$
4. 重复直到得到：$x_{k0}$
5. $(x_{1}0,...x_{k0})$

例：假设一个多元离散随机变量:$(x_1,x_2,x_3)$，$x_1$可能的取值为：$\{0,1,2\}$，$x_2$可能的取值为：$\{0,1\}$，$x_3$可能的取值为：$\{1,2,3\}$,概率分布如下：
$$P(x_1,x_2,x_3)$$

$x_3$	1	2	3	1	2	3
$x_2$	0			1
$x_1$
0	0.12	0.10	0.08	0.08	0.06	0.05
1	0.08	0.06	0.04	0.05	0.04	0.03
2	0.06	0.04	0.02	0.04	0.03	0.02

根据概率分布生成多元离散随机变量：

1. $x_1$的边际概率和累积分布：
   • $P(x_1=0...)=0.12+0.10+0.08+0.08+0.06+0.05=0.49、F(0...)=0.49$
   • $P(x_1=1...)=0.08+0.06+0.04+0.05+0.04+0.03=0.30、F(1...)=0.79$
   • $P(x_1=2...)=0.06+0.04+0.02+0.04+0.03+0.02=0.21、F(2...)=1.00$
   • $u\sim U(0,1)，u=0.37，u<F(0)$令：$x_{10}=0$
2. $x_2$的(条件)边际概率和累积分布：
   • $P(x_2=0|x_{10}=0...)=(0.12+0.10+0.08)/0.49=0.612、F(0|0...)=0.612$
   • $P(x_2=1|x_{10}=0...)=(0.08+0.06+0.05)/0.49=0.388、F(1|0...)=1.000$
   • $u\sim U(0,1)，u=0.65，u<F(1|0...)$令：$x_{20}=1$
3. $x_3$的(条件)边际概率和累积分布：
   • $P(x_3=1|x_{10}{x}_{20}...)=0.08/0.19=0.421、F(1|0,1...)=0.421$
   • $P(x_3=2|x_{10}{x}_{20}...)=0.06/0.19=0.316、F(2|0,1...)=0.737$
   • $P(x_3=3|x_{10}{x}_{20}...)=0.05/0.19=0.263、F(3|0,1...)=1.000$
   • $u\sim U(0,1)，u=0.55，u<F(1|0,1...)$令：$x_{30}=2$
4. $(x_{10},x_{20},x_{30})=(0,1,2)$

模拟生成多元随机变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def multivariateDiscrete(num=10):
    x1, x2, x3 = [], [], []
    for i in range(10000):
        u = np.random.uniform(0, 1)
        temp = []
        for k, v in {
    0:0.49,1:0.79,2:1.0}.items():
            if v > u:
                temp.append(k)
        x1.append(np.min(temp))

        u = np.random.uniform(0, 1)
        temp = []
        for k, v in {
    0: 0.612, 1:1.0}.items():
            if v > u:
                temp.append(k)
        x2.append(np.min(temp))

        u = np.random.uniform(0, 1)
        temp = []
        for k, v in {
    1:0.412, 2:0.737, 3:1.00}.items():
            if v > u:
                temp.append(k)
        x3.append(np.min(temp))
    return x1, x2, x3