轨迹（形状）相似性判断与度量方法

0. 综述

判断两条轨迹的相似性方法有很多

• 基于点方法： EDR，LCSS，DTW等
• 基于形状的方法： Frechet， Hausdorff
• 基于分段的方法：One Way Distance, LIP distance
• 基于特定任务的方法：TRACLUS， Road Network，grid等

一、基于点方法EDR，LCSS，DTW

Eucilid 欧式距离

欧式距离又称欧几里得度量，是一种常用的距离定义。通过计算２条轨迹间对应点的欧氏距离，得到距离序列｛ｄ｝（ｉ＝１，２，…，ｎ），其中ｎ 为２条轨迹中数据点少的轨迹（称为小轨迹）点个数。

欧式距离较为简单和直观，原始轨迹数据经过预处理后，可以利用欧式距离序列的求和、平均值、最大值等指标度量轨迹之间的相似性。

二、基于形状的方法： Frechet， Hausdorff

2.2 Hausdorff Distance (豪斯多夫距离)

空间距离不仅可以用来描述物体的位置分布，还可以用来表示物体之间的相似度。

距离小意味着差异小，相似度高。以空间距离为基础的相似度度量方法有很多，如欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离、切比雪夫距离和 Hausdorff 距离等，其中 Hausdorff 距离常用于计算曲线之间的相似度。

假设有两组集合A={a1,…,ap},B={b1,…,bq},则这两个点集合之间的Hausdorff距离定义为

Hausdorff 距离是一种定义两组点集之间距离的方法，可用于描述两组点集之间的相似度。两组点集之间的Hausdorff 距离越大，相似度越低。给定 2 条由若干有序轨迹点构成的轨迹 $A=a_i$ ，$B=b_j$ ，则集合 A与集合 B 的 Hausdorff 距离为
$$H(A,B)=max(h(A,B),h(B,A))$$
$$h(A,B)=ma{x}_{a_i\in A}(mi{n}_{b_j\in B}\Vert a_i-b_j\Vert )$$
$$h(B,A)=mi{n}_{b_j\in B}(ma{x}_{a_i\in A}\Vert b_j-a_i\Vert )$$

即h(A,B)实际上首先对点集A中的每个点$a_i$到距离此点$a_i$最近的B集合中点$b_j$之间的距离 $\Vert a_i-b_j\Vert$ 进行排序,然后取该距离中的最大值作为h(A,B)的值。

式中：H(A, B)是 Hausdorff 距离的最基本形式，称为双向 Hausdorff 距离；h(A, B)是从集合 A 到集合 B 的单向 Hausdorff 距离；h(B, A)为从集合 B 到集合 A 的单向 Hausdorff 距离； ‖·‖ 是两点之间的距离范式(如:L2或Euclidean距离)。

图示及计算流程总结
刚说了那么多，是不是也不是很清楚，只看公式确实是一件不好玩的事情，那我用网上常用的图来说明一下，还有一个比较简单清晰的计算流程。

给定两个点集合A{ a0, a1, … }和B{ b0, b1, b2, …}

1. 取A集合中的一点a0，计算a0到B集合中所有点的距离，保留最短的距离d0
2. 遍历A集合中所有点，图中一共两点a0和a1，计算出d0和d1
3. 比较所有的距离{ d0, d1 }，选出最长的距离d1
4. 这个最长的距离就是h，它是A→B的单向豪斯多夫距离，记为h( A, B )
5. 对于A集合中任意一点a，我们可以确定，以点a为圆心，h为半径的圆内部必有B集合中的
6. 交换A集合和B集合的角色，计算B→A的单向豪斯多夫距离h( B, A )，选出h( A, B )和h( B, A )中最长的距离，就是A,B集合的双向豪斯多夫距离

相对于传统的距离度量，运用 Hausdorff 距离公式无需对轨迹集进行插值处理，可以直接计算轨迹之间的相似度，避免了给轨迹数据添加噪声，减少了噪声对原始数据的影响；另一方面，由于播发时间间隔不一致，不同船舶产生和记录的 AIS 数据长度不同。Hausdorff 距离可以很好地适用于计算轨迹之间的相似度，因此可以采用 Hausdorff 距离作为轨迹之间的相似度度量。

• 性质：双向Hausdorff距离H(A, B) 是单向 Hausdorff 距离 h(A, B) 和 h(B, A) 两者中的较大者，显然它度量了两个点集的最大不匹配程度。

三、基于分段的方法：One Way Distance, LIP distance

3.1 单向距离(OWD)

OWD 距离的基本思想基于两条轨迹围成的面积，当面积大，说明轨迹之间距离较远，相似度就低；

相反，若围成的面积为0，则说明两条轨迹重合，相似度最高。

3.2 LIP

当某区域面积的周长占总长比重大时权重也自然就大；

当Area均为0时，说明两条轨迹重合没有缝隙，LIP距离为0；

当Area加权和大时，则说明两条轨迹之间缝隙较大，LIP距离也就大。

此外，权重由区域周长占总长比重大决定，也一定程度对抗了噪音点的干扰。

只作用于2维轨迹

四、基于特定任务的方法：TRACLUS， Road Network，grid等

9.CATS(基于线索感知的轨迹相似度)

由于轨迹在采集的时候可能会存在大量采样点缺 失的轨迹段，而对象的同一种运动行为形成的轨迹在空 间上和时间上应该都比较接近，
因此,对于同一模式的轨迹，将他们的采样点相互补 充，得到一条采样完整的轨迹。CATS可以支持局部时间 扭曲，对轨迹的采样率和长度都没有要求，并且对噪声 具有鲁棒性。

10.TRACLUS(轨迹聚类)

通过轨迹聚类找出有代表性的相似轨迹

11.NEAT

轨迹聚类时,考虑路网因素,分三次聚类

12语义轨迹

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参考资料

[1] 轨迹聚类(一)：分段及归组框架(Trajectory Clustering:A Partition-and-Group Framework)) 2016.3
[2] 轨迹聚类（二）：分段及归组框架（Trajectory Clustering:A Partition-and-Group Framework） 2016.3
[3] 基于 DBTCAN 算法的船舶轨迹聚类与航路识别 2022.5
[4] Hausdorff Distance(豪斯多夫距离) 2018.3
[5] Hausdorff 距离 2020.3
[6] Metric评价指标-图像分割之豪斯多夫距离（Hausdorff distance ）
[7] 最小描述长度（MDL）2012.12
[8] 最小描述长度准则—Minimum Description Length 2017.5
[9] 如何判断两条轨迹（或曲线）的相似度？2017.12
[10] 轨迹相似性度量方法总结 2021.6
[11] 相似性方法调研 2019.1