C. Jump and Treasure（dp + 单调队列优化）

JSCPC

Problem

给出一个从0开始，长度为n+1一段序列，从1到n每个点上都有一定价值的金币a[i]（可正可负）。从0号结点开始，每次可以跳跃不超过p个结点，跳到结点i上就（假设从i号结点跳到j号结点，$i<j,j-i\le p$ ）。有q个询问，每次给出一个x（$1\le x\le n$），问每次只能跳到x倍数的结点上（如果该结点编号小于n的话，只能跳到x的整数倍结点上。当跳到小于等于n的最后一个x的整数倍节点上时，只要最后一步跳出n，且这一步不超过p即可），同时，每次跳跃不能超过p，且最终必须跳到大于n的结点上：问多可以收集多少价值的金币。如果不能跳到大于n的结点上，则输出"Noob"。

Solution

1. 状态表示：dp[i]表示跳到结点i上能够收集的最大价值的金币。
2. 状态转移：$dp[i]=max(dp[j])+a[i](i\%x=0,j\%x=0,i-j\le p)$
   可以用单调队列维护可以转移到状态i的几种状态。
3. 注意：最终必须跳到大于n的节点上，最后一个状态应该是 n + 1，而不是最后一个x的整数倍节点上（ n / x * x + x）。而且这两个状态不等价。
   例如： n = 10，p = 5， x = 2.
   当最后一种状态是 n + 1时（11），可以由 dp[6]，dp[8]，dp[10]中最大的一个转移过来。
   而，最后一种状态是 n / x * x + x时（12）,可以由dp[8],dp[10]中最大的一个转移过来。
   显然，两种情况不等价，尤其需要注意。

Code

const int N = 2e6 + 6;
ll dp[N];
ll a[N];
unordered_map<ll, ll>mp;

int main()
{
    
	IOS;
	int n, q, p; cin >> n >> q >> p;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];

	while (q--)
	{
    
		deque<int> q;
		int x; cin >> x;

		if (mp.count(x))
		{
    
			cout << mp[x] << endl;
			continue;
		}

		if (x > p) cout << "Noob\n";
		else
		{
    
			dp[0] = 0;
			q.push_back(0);
			vector<int>b;
			b.push_back(0);
			for (int i = x; i <= n; i += x)
				b.push_back(i);
			b.push_back(n + 1);//注意：本题中n以内只能跳x的倍数，n以外可以不是x的倍数，所以不能写成n / x * x + x
			for (int i = 1; i < sz(b); i++)
			{
    
				while (q.empty() == 0 && b[i] - b[q.front()] > p) q.pop_front();
				dp[i] = dp[q.front()] + a[b[i]];
				while (q.empty() == 0 && dp[q.back()] <= dp[i]) q.pop_back();
				q.push_back(i);
			}

			mp[x] = dp[sz(b) - 1];
			cout << mp[x] << endl;
		}
	}

	return 0;
}

Tips

注意：要好好读题，这题最后一个状态尤其细节。。也至关重要