【博弈论-完全信息静态博弈】 战略式博弈

基本概念

参与人

指的是博弈中选择行动以最大化自己效用的决策主体。

一般写作$\Gamma =\{1,2,...,n\}$，$\Gamma$表示参与人集合，数字表示参与人。

行动

指的是参与人在博弈的某个时点的决策变量。

变量	含义
$a_i$	参与人$i$的行动
$A_i$	表示参与人$i$的所有行动的集合
$a$	$a=(a_1,a_2,...,a_n)$是$n$个参与人的行动组合（行动断面）
$A$	所有行动组合的集合

战略

是参与人的行动规则，规定了参与人在每一种轮到自己行动的情形下，应该采取的行动。

它是与博弈的行动顺序相关的行动的有序集。

变量	含义
$s_i$	参与人$i$的战略，$s_i:X_i\to A_i$
$X_i$	参与人$i$在博弈中可能面临的所有决策的情形的集合，称为观测集
$S_i$	表示参与人$i$所有战略的集合
$s$	战略组合
$S$	表示博弈中所有战略组合的集合

支付

指参与人在博弈中的所得。

变量	含义
$u_i$	表示参与人$i$的支付
$u$	$u=(u_1,u_2,...,u_n)$表示参与人在特定博弈情形下所得到的支付

因为参与人$i$的支付与所有参与人的战略有关系，因此可以看做一个多元函数：$$u_i=u_i(s_1,s_2,...,s_n)$$
为了方便描述，引入了$s_{-i}=(s_1,...,s_{i-1},s_{i+1},...,s_n)$表示除参与人$i$以外的其他参与人的战略组合。于是，支付可以表示为$$u_i=u_i(s_i,s_{-i})$$

参与人、行动、战略、支付是博弈问题的基本要素。

信息

是参与人所具有的有关博弈的所有知识。

战略式博弈

战略式博弈是博弈问题的一种规范性描述，有时也称为标准式博弈。

这种模型假设每个参与人仅选择一次行动或行动计划（战略），且这些选择是同时进行的。因此，完全信息静态博弈最适于用战略式博弈来描述。

定义1.1 战略式博弈包含以下三个要素：

1. 参与人集合$\Gamma =\{1,2,...,n\}$；
2. 每位参与人非空的战略集$S_i$，即$\forall i\in \Gamma ,\exists S_i\ne \varnothing$;
3. 每位参与人定义在所有战略组合${\prod }_{i=1}^n{S}_i=\{s=(s_1,...,s_i,...,s_n)\}$上的偏好关系${>}_i$。

定义1.2战略式博弈包含以下三个要素：

1. 参与人集合$\Gamma =\{1,2,...,n\}$；
2. 每位参与人非空的战略集$S_i$，即$\forall i\in \Gamma ,\exists S_i\ne \varnothing$;
3. 每位参与人定义在战略组合${\prod }_{i=1}^n{S}_i=\{s=(s_1,...,s_i,...,s_n)\}$上的效用函数$u_i(s_1,s_2,...,s_n)$。

说明：

1. 一般用三元组$G=<\Gamma ;(S_i);({>}_i)>$或$G=<\Gamma ;(S_i);(u_i)>$表示。
2. 战略式博弈事实上可以看做一个博弈黑箱。
3. 参与人在战略式博弈中选择的是一个完备的行动计划，不仅仅是某一博弈情形下的行动。
4. 对于只有两个参与人的有限博弈问题，一般都用表格的形式来表示一个博弈问题的战略式描述。

例子

新产品开发博弈

这个表头对应的是企业$i$的战略集$S_i$中的战略$i$，因为是同时进行的，所以是一个完备的战略，对应的行动集是唯一的。

另外，完全信息动态博弈也可以用战略式博弈来描述，但会丧失时序信息，这需要通过扩展是博弈来体现，这会在之后讲述。