每日一题：连续子数组的最大和（动态规划）

JZ42 连续子数组的最大和

知识点动态规划

描述

输入一个长度为n的整型数组array，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，子数组最小长度为1。求所有子数组的和的最大值。

数据范围:

1 <= n <= 2*10^5

-100 <= a[i] <= 100

要求:时间复杂度为 O(n)O(n)，空间复杂度为 O(n)O(n)

进阶:时间复杂度为 O(n)O(n)，空间复杂度为 O(1)O(1)

示例1

输入：[1,-2,3,10,-4,7,2,-5]
返回值18
说明：经分析可知，输入数组的子数组[3,10,-4,7,2]可以求得最大和为18         

示例2

输入：

输入：[2]
返回值：2

示例3

输入：

输入：[-10]
返回值：-10

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解题思路

方法1： 连续的子数组，即数组中从i下标到j下标（0<=i<=j<数组长度）的数据，想要获得所有的子数组和，可以通过暴力法，两次循环获得，但时间复杂度为O(n^2)，效率不高。

方法2： 动态规划，设动态规划列表 dp，dp[i] 代表以元素 array[i] 为结尾的连续子数组最大和。
状态转移方程： dp[i] = max(dp[i-1] + array[i], array[i]);

具体思路如下：
1、遍历数组，比较 dp[i-1] + array[i] 和 array[i]的大小;
2、为了保证子数组的和最大，每次比较 sum 都取两者的最大值;
3、用max变量记录计算过程中产生的最大的连续和dp[i]；

方法3： 我们可以简化动态规划，使用一个变量sum来表示当前连续的子数组和，以及一个变量max来表示中间出现的最大的和。

代码实现

方法1：暴力法，时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)

class Solution {
    
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
    
        int Max = array[0];
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < array.size(); ++i)
        {
    
            // 每开启新的循环，需要把sum归零
            sum = 0;
            for(int j = i; j < array.size(); ++j)
            {
    
                // 这里是求从i到j的数值和
                sum += array[j];
                // 每次比较，保存出现的最大值
                Max = max(Max, sum);
            }
        }
        return Max;
    }
};

方法2：动态规划，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)

class Solution {
    
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
    
        int* dp = new int[array.size()];
        int Max = array[0];
        dp[0] = array[0];
        for(int i = 1; i < array.size(); ++i)
        {
    
            // 动态规划，状态转移方程，确定dp[i]的最大值
            dp[i] = max(dp[i - 1] + array[i], array[i]);
            // 每次比较，保存出现的最大值
            Max = max(Max, dp[i]);
        }
        return Max;
    }
};

方法3：优化动态规划，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

class Solution {
    
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
    
        if(array.empty())
            return 0;
        int Max = array[0];
        int sum = array[0];
        for(int i = 1; i < array.size(); ++i)
        {
    
            // 优化动态规划，确定sum的最大值
            sum = max(sum + array[i], array[i]);
            // 每次比较，保存出现的最大值
            Max = max(Max, sum);
        }
        return Max;
    }
};

另一种写法：不用max的写法，就是用 if语句代替

/* 算法时间复杂度 O（n） 用cur记录累计值，maxSum记录和最大 基于思想：对于一个数A，若是A的左边累计数非负，那么加上A能使得值不小于A，认为累计值对 整体和是有贡献的。如果前几项累计值负数，则认为有害于总和，cur记录当前值。 此时 若和大于maxSum 则用maxSum记录下来 */
class Solution {
    
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
    
        if(array.empty())
            return 0;
        int maxSum = array[0];
        int cur = array[0];
        for(int i = 1; i < array.size(); ++i)
        {
    
            if(cur >= 0)
                cur += array[i];
            else
                cur = array[i];
        
            if(cur > maxSum)
                maxSum = cur;
        }
        return maxSum;
    }
};