FFT 采样频率和采样点数的选取

原信号：$x(t)=2.5+sin(2\pi \ast 100t)+3sin(2\pi \ast 900t)$

1、根据奈奎斯特采样定理保证不混叠且能还原出原信号信息，确定最小采样频率 $f_{smin}=1800Hz$。
2、频率分辨率最大为 100Hz，最小采样总时间 $L_{min}=1/100$。
3、根据 $L=N/f_s$，得到最小采样点数 $N_{min}=L_{min}\times f_{smin}=1800/100=18$。
4、基2-FFT要求点数N为2的指数倍（不考虑补零或截断，采样点数直接等于FFT运算点数），因此可得到大于$N_{min}$的 N 的可取值序列 $N(n)=32,64,128,\mathrm{256....}$。
5、为了保证频率和幅度的准确性（博主理解为在该段采样时间内获取的原信号周期为整数倍，频谱尽可能不泄露），需满足
$$m_1\times f_s/N=f_1=100，m_1\in 正整数$$
$$m_2\times f_s/N=f_2=900，m_2\in 正整数$$
6、联立上两式得到 $$\frac{m_2}{m_1}=9$$

• 对$m_1、m_2和N$依次取值，凑数。
  令 $m_1=1,m_2=9,N=32$，得到 $f_s=3200$
  令 $m_1=1,m_2=9,N=64$，得到 $f_s=6400$
  令 $m_1=1,m_2=9,N=128$，得到 $f_s=12800$
  …等等
  令 $m_1=2,m_2=18,N=32$，得到 $f_s=1600<f_{smin}$ （舍去）
  令 $m_1=2,m_2=18,N=64$，得到 $f_s=3200$
  令 $m_1=2,m_2=18,N=128$，得到 $f_s=6400$
  令 $m_1=2,m_2=18,N=256$，得到 $f_s=12800$
  …等等
  令 $m_1=3,m_2=27,N=32$，得到 $f_s\approx 1066.7<f_{smin}$ （舍去）
  令 $m_1=3,m_2=27,N=64$，得到 $f_s\approx 2133.3$
  令 $m_1=3,m_2=27,N=128$，得到 $f_s\approx 4266.7$
  令 $m_1=3,m_2=27,N=256$，得到 $f_s\approx 8533.3$
  …等等

• 选取其中一组数据，$N=64,f_s=6400$ 进行分析：

%% [预处理]
clc;   %清除命令窗口
clear; %清除工作空间的变量和函数
clf;   %清除当前图形

%% [采样参数]
fs=6400;   %采样频率 (Hz)  
ts=1/fs;   %采样周期 (s)
N=64;      %采样点数 (个)
n=0:N-1;   %采样点索引
t=n*ts;    %采样时间轴

%% [被采信号] 
fa=100;           %信号a的频率
fb=900;           %信号b的频率
xn=2.5+sin(2*pi*fa*t)+3*sin(2*pi*fb*t); %被采信号=信号a+信号b

%% [FFT处理]
M=N;           %FFT运算点数
X=fft(xn,M);   %FFT输出值
X=[X(1)/M,X(2:M)*2/M]; %幅度轴
k=0:M-1;       %频率点索引
f=fs*k/(M-1);  %频率轴

%% [作图]
stem(f,abs(X));  %序列图
xlabel('频率');  %横轴坐标
ylabel('幅度');  %纵轴坐标
title({
    ['采样频率',num2str(fs),' , 采样点数',num2str(N)],['FFT运算点数',num2str(M)]});
grid;            %显示表格线

• 不断更改采样频率和采样点数，得到下图：
  第一行：$m_1=1,m_2=9$
  第二行：$m_1=2,m_2=18$
  第三行：$m_1=3,m_2=27$
  
• 对上图分析：
  每一行中，频率分辨率随从左到右逐渐改善一倍。
  如下图双箭头所指示的两图中，采样频率不同、采样点数相同、FFT结果相同，且随着采样点数的提高，精度逐渐提高。
  
  7、根据上述所总结的规律，按实际项目精度需求以及软硬件配置，选择合适的采样点数和采样频率即可。