【TA-霜狼_may-《百人计划》】1.2.2 矩阵计算

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1.2.2 矩阵计算

1.2.2.1 矩阵

定义：一个m x n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
图形学中一般对方阵进行操作，二维二阶，三维三阶，三维带平移则为四阶。
另外还有例如：

• 单位矩阵
• 零矩阵 不同大小的零矩阵是不一样的，单位矩阵同理。

1.2.2.2 矩阵的加减法

前提：同型矩阵
矩阵的加减法即对应位置的相加。

1.2.2.3 矩阵的数乘

每个位置乘以标量

1.2.2.4 矩阵的乘法

需要满足一定的合法性
m x n 的矩阵只能和 n x p矩阵相乘
相乘后的矩阵大小必为 m x p
几何含义：

• 矩阵 x 矩阵可以认为是缩放叠加旋转，还是一种变换形式
• 矩阵 x 向量 最终得到一个新的向量或者顶点坐标

矩阵中的复合变换：

可以有两种计算顺序：

满足的运算规律：

常用变换矩阵：

三维空间中的坐标变换：

Unity中，三维空间中的旋转按照z、x、y的顺序进行

1.2.2.5 矩阵的转置

矩阵的转置具有以下性质：

unity中对模型每一个点进行矩阵操作时，对第四列的操作无法达到平移的目的，但是在相应位置上对第四行进行操作是可以达到对应效果的，究其原因是Unity的矩阵存储过程中，对整体进行了转置，所以在后续的代码过程中，建议对平移矩阵进行转置后再进行附加运算。

1.2.2.6 逆矩阵

逆矩阵的计算：

逆矩阵的性质：

总结

矩阵计算中的各种几何意义：

1. 加减法：单位向量的改变
2. 数乘：单位向量的缩放
3. 矩阵乘法：缩放、旋转、位移（需要高一维）、斜切、镜面对称，拉伸，各种轴旋转等
4. 转置：行和列的位置互换
5. 矩阵的逆：对一个矩阵的变化，可以通过乘逆矩阵进行还原

矩阵计算公式：

1. 加减法：矩阵形状完全相同，对应位置相加
2. 数乘：矩阵每个位置乘以该标量
3. 矩阵乘法：整体由右及左。两个矩阵相乘时，左边矩阵的行不变，依次遍历右边矩阵的列并相乘，按照先后顺序填充在左边矩阵相同的行，直到右边矩阵遍历完成，再跳转到左边矩阵的下一行，重复上述操作，直到左边矩阵的最后一行。所以，两个矩阵的形状必须满足左边为：m x n，右边为：n x p，即左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
4. 矩阵的逆：矩阵与矩阵的逆相乘为单位矩阵