【通信原理】第三章 -- 随机过程[上]

第三章 随机过程

随机过程的基本概念

• 随机过程： 是一类随时间做随机变化的过程，他不能用确切的时间函数描述
• 样本函数： 测试结果的每个记录，都是一个确定的时间函数x_i(t)，称之为样本函数
• 全部样本函数构成的总体{x₁(t),x₂(t) … x_n(t)}就是一个随机过程，记作ξ(t)，随机过程就是所有样本函数的集合
• 又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量集合

随机过程的分布函数

• 设ξ(t)表示一个随机过程，则在他的任何时刻t₁的值ξ(t₁)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度来描述，将随机变量ξ(t₁)小于或等于某一数值x的概率P[ξ(t₁) ≤ x₁]，记作下式，并成为随机过程ξ(t)的一维分布函数
  $$F_1(x_1,t_1)=P[\xi (t_1)\le x_1]$$
• 若F₁(x₁, t₁)对x₁的偏导存在，则称f₁(x₁,t₁)为ξ(t)的一维概率密度函数
  $$\frac{\partial F_1(x_1,t_1)}{\partial x_1}=f_1(x_1,t_1)$$

随机过程的数字特征

均值

• 随机过程ξ(t)的均值或称数学期望，定义为
  $$E[\xi (t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_1(x,t)dx$$

方差

• 方差表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)的偏离过程
  $$X=>Dx=E{x}^2-[Ex{]}^2$$
  $$D[\xi (t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{f}_1(x,t)dx-[a(t){]}^2$$

相关函数

• 相关函数是很像随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度
  • 相关函数越大=>在任何两个时刻下关联程度越大
• 随机过程ξ(t)的相关函数 -> 自相关
  $$R(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\xi (t_2)]={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1{x}_2{f}_2(x_1,x_2;t_1,t2)d{x}_{1}d{x}_2$$
• 把相关函数的概念延伸到两个或多个随机过程，可以得到互相关函数

平稳随机过程

定义

• 若一个随机过程ξ(t)的统计特性与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统计特性，则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程
• 平稳随机过程ξ(t)在任意有限维概率密度函数与时间起点无关

1. 对于任意的正整数n和所有实数Δ，一维概率密度函数与时间t无关
   $$f_1(x_1,t_1)=f_1(x_1)$$
2. 二维分布函数只与时间间隔τ = t₂ - t₁有关
   $$f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_2(x_1,x2;\tau )$$

• 平稳随机过程ξ(t)具有简明的数字特征
  1. 均值与t无关，为常数a
  2. 自相关函数只与时间间隔τ = t₂ - t₁有关
  • 常用以上两个条件来直接判断随机过程的平稳性
  • 并把同时满足以上两个条件的过程定义为广义平稳随机过程(宽平稳随机过程)
  • 严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定

各态历经性

• 具有各态历经性的过程，其数字特征(均为统计平均)完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替
• 各态历经性的含义： 随机过程中的任一次实现窦经理饿随机过程的所有可能状态
• 注意：
  • 具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立
  • 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件

重要公式

• 假设x(t)是平稳过程程ξ(t)的任意一次实现(样本)，由于他是时间的确定函数，可以求得他的时间平均值，其时间均值和时间相关函数分别定义为
  $$\{\begin{array}{r}\overline{a}=\overline{x(t)}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt\\ \overline{R(\tau )}=\overline{x(t)x(t+\tau )}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau )dt\end{array}$$
  $$\{\begin{array}{r}a=\overline{a}\\ R(\tau )=\overline{R(\tau )}\end{array}$$

平稳过程的自相关函数

• 自相关函数是表述平稳过程特性的一个特别重要的函数，他不仅可以用来描述平稳过程的数字特征，它还与平稳过程的谱特性有着内在的联系
• 设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数
  $$R(\tau )=E[\xi (t)\xi (t+\tau )]$$
• 主要性质：
  1. R(0) = E[ξ²(t)]，表示ξ(t)的平均功率
  2. R(τ) = R(-τ)，表示τ的偶函数
  3. R(∞) = E²[ξ(t)] = a²，表示ξ(t)的直流功率
  4. R(0) - R(∞) = σ²，σ²是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率

平稳过程的功率谱密度

• 随机过程的频谱特性可以用它的功率谱密度来表述，随机过程中的任一样本是一个确定的功率型信号，对于任意的确定功率信号x(t)，它的功率谱密度定义为
  $$P_x(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|X_T(f){|}^2}{T}$$
• ++平稳过程的功率谱密度P_ξ(f)与其自相关函数R(τ)也是一对傅里叶变换关系++
  $$\{\begin{array}{r}{P}_{\xi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j\omega \tau }dt\\ R(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_{\xi }(\omega )e^{j\omega \tau }d\omega \end{array}$$
  或
  $$\{\begin{array}{r}{P}_{\xi }(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j\omega \tau }dt\\ R(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_{\xi }(f)e^{j\omega \tau }df\end{array}$$

高斯随机过程

• 高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要也是最常见的一种过程

定义

• 如果随机过程ξ(t)的任意n维分布均服从正态分布，则称他为正态过程或高斯过程

重要性质

1. 高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差
   • 因此，只需要研究它的数字特征就可以
2. 广义平稳的高斯过程也是严平稳的
3. 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的
4. 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程
   • 若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程

高斯随机变量

• 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
  $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
• 特性
  • f(x)对称于x = a这条直线，即f(a+x) = f(a-x)
  • $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1及{\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx={\int }_a^{\infty }f(x)dx=\frac{1}{2}$$
  • a表示分布中心，σ称为标准偏差，表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高变窄
• 技巧
  • $$P(x>A)=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{d_1^2}{2{\sigma }^2}}$$
  • $$P(x<B)=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{d_2^2}{2{\sigma }^2}}$$
  • $$P(a<x<A)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{d_1^2}{2{\sigma }^2}}$$
  • $$\{\begin{array}{r}{d}_1=A-a\\ d_2=a-B\end{array}$$

平稳随机过程通过线性系统

• 线性时不变系统可由其单位冲击响应h(t)或其频率响应H(f)表征，若令v_i为输入信号，v₀为输出信号，则输入与输出关系可以表示成卷积
  $$v_0(t)=v_i(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}_i(\tau )h(t-\tau )d\tau$$
  或
  $$v_0(t)=h(t)\ast v_i(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )v_i(t-\tau )d\tau$$
  对应的傅里叶变换关系为
  $$V_0(t)=H(f)V_i(f)$$

性质

1. 输出过程ξ_o(t)的均值E[ξ_o(t)]是一个常数
   $$E[{\xi }_o(t)]=a\cdot {\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )d\tau =a\cdot H(0)$$
2. 输出过程ξ_o(t)的自相关函数
   • 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的
3. 输出过程ξ_o(t)的功率谱密度
   • 输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统效率响应数值的平方
4. 输出过程ξ_o(t)的概率分布
   • 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的
   • 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程