关于单应性矩阵的若干思考

1 名词解释

        单应与射影变换是同义的。射影变换描述的是SE(2)到SE(2)的映射关系。映射与变换同义。

映射h：SE(2)到SE(2)是射影映射的充要条件是：存在一个3x3非奇异矩阵H，使得任何一个用矢量x表示的点都满足h(x) = Hx.

射影变换实际上是一个映射群，即射影变换群。射影变换群仿射群欧式群。因此单应性矩阵是可以描述仿射映射的。透视变换是一种特殊的射影变换，透视变换本身不构成透视变换群，即透视变换的复合不一定是透视变换，但属于射影变换。

 2 透视变换

        透视变换、透视投影、小孔摄影几何同义。如前所述平面的透视投影可用单应性矩阵 H 描述。

        消影点：直线上的无穷远处在图像上的投影点。

        消影线：平面的无穷远处在图像上的投影直线。

        消影点与消影线形成的根本原因是线/面上的点无法越过 经过投影中心且平行于该线/面的线/面 进行投影，亦即具有边界。

        消影线的求法：在摄像机欧氏坐标系下，平面集（法向量为n）的消影线是 I = K^(-T) n = K^(-T) · R · (0; 0; 1)。其中，n 为相机坐标系下的法向量表达，而不是世界坐标系，I 是图像平面上的直线，也就意味着 I 是图像坐标系下的方向向量，因此 I 的方程由 （u, v, 1) · I 给出。

3 由(u,v)求相机在物平面上的正投影位置

        相机在物平面坐标系下的位置：分解H = K[r1, r2, t]，其中R = [r1, r2, r3 = r1 x r2]，则物平面坐标系下相机的位置Pc = -R^(-1)·t。

        相机在物平面坐标系下的正投影位置：

        1）去掉Pc的z维度；

        2）根据像素坐标反算。s(u, v, 1) = K R [0,0,0; 0, 0, 0;0, 0, 1]R^(-1) t 得到 (u, v)，再通过 H 反算。这里的本意是想推导出(u, v) 无关于K R t 而只关于 H 的的表达式，但暂时没推出来；

        3）计算图像鸟瞰图的左右边界的交点。从实验中来看，好像是交点位置，但暂未从几何或代数上进行证明。