王树尧老师运筹学课程笔记 02 高等数学基础

第2讲 高等数学基础

最值和极值

最值和极值的定义

最值：函数最值分为函数最小值与函数最大值，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

极值：若 $x_0$ 为极值点，则在 $x_0$ 的邻域内都有 $f(x)\ge f\left(x_0\right)$ 或者 $f(x)\le f\left(x_0\right)$ 。

区别：最值讨论的是整体性，而极值讨论的是局部性。极值不一定是最值，最值也不一定是极值。

一个函数在闭区间上的最大值和最小值是一定存在的。

区间的边界点不能讨论极值，极值点必须是内点。

费马引理

$f(x)$在$x_0$处取得极值且在$x_0$处可导，则有$f^{\prime }(x_0)=0$。反之不然。

利用费马引理求最值和极值

函数的最值只可能在区间端点或极值点取到，其中最值可能有两类，一类是函数的可疑点，即使$f^{\prime }(x)=0$的点，另一类是不可导点。

所以找出所有的极值点和区间端点，其对应的函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

进一步来说，由于运筹学关心的是最值，所以对于在闭区间上连续可导的函数，找出所有的导数为0的点和区间端点，其对应的函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

多元函数的最值

Lag乘数法

1. 有几个约束条件就引入几个Lag乘子${\lambda }_i$。
2. 构造一个新函数$F=f+{\sum }_i{\lambda }_i{g}_i$，其中$f$是目标函数，$g_i$是约束条件。
3. 求出所有自变量的偏导数，都令其等于0，得到若干组解。比较这些解的函数值，其对应的函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

其中解方程组时，先选择线性方程求解，再代入到其他式子中求解

多元函数的极值

海塞矩阵的正定性（要求函数的二阶偏导数连续）

1. 令函数的偏导数为0，解方程组得到若干组解。
2. 验证每一组解的海塞矩阵的正定性。正定则是极大值点，负定则是极小值点，不定则不是极值点，半正定或半负定则是可疑点（此法失效）。

总结

运筹学中求解最值需要用到高等数学中导数和偏导数的工具。对于一元函数，找出所有的导数为0的点和区间端点，其对应的函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值。对于多元函数，使用Lag乘数法。对于多元函数的极值，可以用海森矩阵进行讨论。