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∫(0→1) ln(1+x) / (x² + 1) dx

2022-06-27 19:25:00 【超级大超越】

$\int_{0}^{1}\frac{\ln \left ( 1+x \right )}{1+x^{2}} dx=\int_{0}^{1}\ln \left ( 1+x \right ) d\left ( \arctan x \right )$

令x=tan u，则原式

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \left ( 1+\tan u \right ) du$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \left ( 1+\tan \left (\frac{\pi }{4} -u \right ) \right ) du$ 【区间再现公式】

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \left ( 1+ \frac{1-\tan u}{1+\tan u} \right ) du=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \left ( \frac{2}{1+\tan u} \right ) du$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln 2 - \ln \left ( 1+\tan u \right ) du$

即

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln 2du$

$=\frac{\pi\ln 2 }{8}$

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