除子

“

定义: 设为黎曼曲面,为从到的映射,即 .如果除了有限个点之外,均有, 则称为上的一个除子.

”

通常我们用一个形式和来表示上的除子. 如果, 则称为上的有效除子,记为 . 用 表示上全体除子组成的集合.

在中可以自然地引入群运算:设,即

定义

在这些运算下, 构成一个交换群,称为除子群.

定义从到整数加群的同态如下:

称为除子的次数.

例: 亚纯函数诱导的除子.

设为黎曼曲面上的亚纯函数,决定了一个除子, 定义如下:

诱导的除子具有如下性质:

(1)如果为紧致黎曼曲面,则, 这是留数公式的推论.

(2) , . 这可从定义直接得到.

“

定义: 如果为紧致黎曼曲面, 为上的亚纯函数, 则称为一个主要除子,记 , 为除子群的子群,称为主要除子群.

”

根据主要除子的定义我们知道 , 因此诱导了 到的同态.商群称为除子类群,记为. 设, 如果, 则称与线性等价, 记为 .

例:亚纯微分诱导的除子.

设为黎曼曲面上的亚纯微分,也决定了上的一个除子,记为, 定义如下:

如果为另一亚纯微分,则有

这里 是上的亚纯函数.这说明和线性等价,记它们在除子群中的等价类为, 称为典范除子类.

定义: 设为紧致黎曼曲面,为上的一个除子,定义

和分别是亚纯函数域和亚纯微分空间的子集.下面的引理表明,它们都是有限维的复向量空间.

“

引理: 和具有以下性质:

(i)和为复向量空间. 如果, 则与线性同构, 与线性同构.

(ii)和为有限维复向量空间.

(iii)如果为典范除子,则与线性同构.

”

证明:(i)设, 则由和, 知 , . 这说明. 如果, , 则显然. 因此为复向量空间.

如果, 其中, 则

从而映射

为线性同构.

对于的证明是完全类似的.

(ii)将除子写成两个有效除子的差:

显然, . 我们证明对于有效除子, . 对进行归纳.

当 时, , 此时

假设当时, . 当 时, 可设

记

显然

由归纳假设, . 如果, 取. 设为附近的局部坐标函数, .在附近有如下展开式:

任取 , 都有类似的展开式,从而存在,使得. 这说明 . 特别地,有

由数学归纳法,我们就证明了总是有限维的复向量空间.

对于的证明是完全类似的.

(iii)设典范除子由上的非零亚纯微分生成,此时有

这说明映射

为线性同构.

从上面引理的证明我们还得到如下推论:

推论: 设为紧致黎曼曲面,则

(i)对于有效除子, 有

(ii) 特别地, , 并且等号成立的充分必要条件是与黎曼球面同构.

(iii),其中是上全纯1形式的全体组成的复向量空间.

证明:从上面引理的归纳证明即可看出(i)成立. 特别地,有

如果对于某个, , 则存在, 且不是常值函数,由知, 以为唯一的极点,且这个极点为单极点. 这说明,作为分歧覆盖是一一的全村映射,即 是从到的全纯映射,即是从到的全纯同构. 这就证明了(ii).

对于(iii), 如果, 则没什么要证明的.否则, 任取一个非零全纯微分, 它生成的典范除子是一个有效除子.此时有

特别地, 是有限维复向量空间.