【Tikhonov】基于Tikhonov正则化的图像超分辨率重建

1.软件版本

matlab2013b

2.系统原理

       对于图像超分辨率重建的问题，常常涉及到大规模的方程组求解，且方程的维数往往很大。所以正则化方法的求解算法中常用到迭代算法。这里主要说明一下以迭代Tikhonov正则化方法为例，该方法是利用正则参数的某些先验性质，同时对精确解施加光滑性的条件，按照后验选择策略从而改进收敛速度并决定正则参数。

首先进行收敛性分析。直接得到复原结果

 但是由于逆矩阵的求解十分复杂,本文采用迭代下降算法求解复原图像,迭代过程满足

 对式(2)两边取范数得

 根据矩阵谱范数的定义, 式(3)可写成

 式(4)中, 表示矩阵最大特征值。根据三角形不等式得

 将式(5)代入式(4)式得

 因此,α满足条件α<1时算法收敛,才能实现对全局最优解的搜索。

综上所述,α应满足关系式0<α<1才能保证复原结果为全局最优解。

论文研究过程中采用空间域迭代的方法进行计算,则图像复原的正则化泛函的迭代格式为：

3.部分源码

function [object,yy,err,Iter_Max]=func_Tikhonov(I1);

Images = I1;
Fact_cos_sin = func_cos_sin(Images);
H            = func_fuzzy_gauss(I1,1);

%参数初始化
Iter_Max     = 30;
[Rs,Cs,Ks]   = size(Images); 
fft_operator = fft2([0,-1,0;-1,4,-1;0,-1,0],Rs,Cs);
fft_images   = fft2(Images,Rs,Cs);
fft_nimages  = fft2(I1,Rs,Cs);
FFT_H        = fft2(H,Rs,Cs);
FFT_H        = FFT_H.*Fact_cos_sin;
CONJ_FFT_H   = conj(FFT_H);
det_FFT_H    = abs(FFT_H);
det_FFT_p    = abs(fft_operator); 
I2           = I1;  
Y            = I1;   
mark         = 0;
%迭代过程
for k=1:Iter_Max
    % 求正则化参数 AL
    A  = H;
    B  = imfilter(Y,[0,-1,0;-1,4,-1;0,-1,0],'replicate');
    N  = imfilter(I2,A,'replicate');
    a1 = norm((double(Y)-double(N)),2).^2;
    a2 = norm(double(Y),2).^2;
    AL = log(a1/a2/1e2+1);     
    
    FFT_X1     = fft2(I2,Rs,Cs);
    FFT_X1_t   = CONJ_FFT_H.*FFT_X1;  
    FFT_object = FFT_X1_t+CONJ_FFT_H.*fft_images-FFT_X1_t.*(det_FFT_H.^2+AL*det_FFT_p.^2);
    object     = abs(ifft2(FFT_object));
    
    object_max = max(max(object));  %标定
    object_min = min(min(object));
    object     =(object-object_min)*255/(object_max-object_min); 
    object     = uint8(object);
    I3         = object;
    t          = I2;
    I2         = I3;
    diff       =(norm(double(I3)-double(t),2).^2)/((norm(double(t),2)).^2);
    yy(k)      = AL;
    err(k)     = diff;
end

4.仿真结论

这个部分的仿真效果如下所示：

 A05-19