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SISO Decoder for SPC (补充章节1)

2022-06-11 17:52:00 【明朝百晓生】

前言：

在LDPC,Polar 都会涉及到 SISO Decoder.

后面四章节主要讲这块的推导过程。

SISO: Soft Input and Soft Output

soft 思想很像机器学习中softmax 激活函数,主要作用是把概率约束到[0,1]之间。

本篇主要以SPC(3,2)为例

1： SPC introduce

2： SISO decoder for SPC(3,2)

3： properties

4：补充知识点

一 SPC(signle parity check code)

首先回顾一下SPC码

图中的 r_i : beliefs that c_i is 0, 即预测值为0的概率

后面我们以下面两个表示码字为0和1的概率

$P_i^{-}=1-P_i$

SPC 形式（n,n-1）

输入长度为n-1的信息,输出长度为n的码字，即增加了一个奇偶校验位

1.1 编码矩阵：

$c=mG=[m_1,m_2,...m_{n-1},p]$

1.2 奇偶校验矩阵

Hc^T=0

H 是全为1的行向量

1.3 例 SPC（3,2）

编码矩阵G

$c=mG=[m_1,m_2]\begin{bmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0& 1& 1 \end{bmatrix}=[c_1,c_2,c_3]$

c_1=m_1,c_2=m_2,c_3=m_1+m_2

二 SISO decoder for SPC(3,2)

这里面以 L_1 为例：

一部分信息来自于chanel 本身 r_1 ,称为intrinsic

另一部分信息来自于其它channel r_2,r_3 ,称为extrinsic

2.1 先看 instrinsic:

$L_1=log\frac{P_r(c_1=0|r_1)}{p_r(c_1=1|r_1)}$

$L_2=log\frac{P_r(c_2=0|r_2)}{p_r(c_2=1|r_2)}$

$L_3=log\frac{P_r(c_3=0|r_3)}{p_r(c_3=1|r_3)}$

概率比取对数即：

$L_1= log\frac{p_1}{p_1^{-}}$

$L_2= log\frac{p_2}{p_2^{-}}$

$L_3= log\frac{p_3}{p_3^{-}}$

2.2 extrinsic

给定 r_2,r_3 , P_1=P_r(c_1=0|r_2,r_3) 为多少？(条件概率）

通过上图可以看到

P_1=P_2P_3+(1-P_2)(1-P_3)

$=P_2P_3+P_2^{-}P_3^{-}$

$P_1^{-}=1-P_1=P_2P_3^{-}+P_3P_2^{-}$

因为：
$P_1-P_1^{-}=P_2(P_3-P_3^{-})+P_2^{-}(P_3^{-}-P_3)$
$=(P_2-P_2^{-})(P_3-P_3^{-})$
$P_1+P_1^{-}=(P_2+P_2^{-})(P_3+P_3^{-})$
所以
$\frac{P_1-P_1^{-}}{P_1+P_1^{-}}=\frac{P_2-P_2^{-}}{P_2+P_2^{-}}*\frac{P_3-P_3^{-}}{P_3+P_3^{-}}$
$\frac{1-\frac{p_1^{-}}{P_1}}{1+\frac{p_1^{-}}{P_1}}=\frac{1-\frac{p_2^{-}}{P_2}}{1+\frac{p_2^{-}}{P_2}}*\frac{1-\frac{p_3^{-}}{P_3}}{1+\frac{p_3^{-}}{P_3}}$

根据前面的LLR定义，以及tanh的性质

$L_{ext,1}=log \frac{P_1}{P_1^{-}}$ ，     $-L_{ext,1}=log \frac{P_1^{-}}{P_1}$
   $tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
   $=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$