最长严格递增子序列

引入

给定一个数组arr，返回arr的最长严格递增子序列的长度

子数组是连续的，比如[1,3,5,7,9]的子数组有[1,3]，[3,5,7]等等，但是[1,3,7]不是子数组。

 示例:
   输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
   输出: 4
  解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

解题方法

使用动态规划的思想，用i遍历数组，然后用j遍历小于i的数据，如果i的数据大于j的数据而且dp[i]的长度小于dp[j]+1的长度，则记录下来；
其实知道解题的方法和递推公式，写起来就简单了，
$$D(x)=\{\begin{array}{ll}max(dp[j]+1,dp[i]),& 0<=j<i且arr[j]<arr[i]\\ 1,& 0<=j<i且arr[j]>arr[i]\end{array}$$

java代码

class Solution {
    
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    
        if (nums.length == 0) {
    
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
    
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
    
                if (nums[i] > nums[j]) {
    
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 n 为数组 nums的长度。动态规划的状态数为 n，计算状态dp[i] 时，需要 O(n)的时间遍历 $dp[0\dots i-1]dp[0\dots i-1]$的所有状态，所以总时间复杂度为$O(n^2)$

• 空间复杂度：$O(n)$，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。